Почему доказательство Великой теоремы Ферма не нуждается в улучшениях

В течение десятилетий, прошедших после появления знакового доказательства великой теоремы Ферма, появилось несколько идей по поводу того, как сделать его ещё более надёжным. Однако эти попытки отражают глубокое непонимание того, что делает доказательство важным.

23 июня исполнилось 25 лет с момента взбудоражившего всех объявления от Эндрю Уайлса ^[1], в котором он заявил о получении доказательства великой теоремы Ферма ^[2] – наиболее известной в математике задачи возрастом 350 лет. История, окружающая доказательство Уайлса – семь лет он тайно работал над этим проектом, разрыв в доказательстве, обнаружившийся после июньского объявления, элегантное решение, опубликованное год спустя в совместной работе, написанной Уайлсом вместе с его бывшим студентом Ричардом Тэйлором ^[3], получение рыцарского звания в 2000 – вошло в анналы математических легенд.

После прорыва Уайлса часто можно услышать рассуждения о наступлении новой «золотой эры» в математике, особенно в теории чисел – области, к которой и принадлежит теорема Ферма. Методы, представленные Уайлсом и Тейлором, сегодня являются частью инструментария специалистов по теории чисел, считающих историю Великой теоремы закрытой. Но эта история тронула не только специалистов по теории чисел.

Мне неожиданно напомнили об этом события 2017 года, когда в промежуток из нескольких дней два логика, делавших доклад на двух разных континентах, указали на способы улучшения доказательства Теоремы – и рассказали о том, насколько удивились их коллеги, когда специалисты по теории чисел не выказали к их идеям никакого интереса.

Логики выражали эти идеи на языках своих соответствующих специальностей – теории множеств и теоретической информатики. Сделанные ими предложения по сути своей были истинными, и, возможно, когда-нибудь поднимут новые вопросы, не менее интересные, чем у Ферма. Однако мне сразу же стало ясно, что эти вопросы не имеют отношения к специалистам по теории чисел, и любые иные предположения отражают глубокое непонимание природы доказательства Уайлса и целей теории чисел в целом.

Корни этого непонимания можно обнаружить в простоте утверждения Теоремы, которая и отвечает за большую часть её привлекательности: если n – любое положительное целое число, большее 2, то невозможно найти три таких положительных числа, a, b и c, что:

Это ярко контрастирует с тем случаем, когда n равно 2: любой человек, изучавший евклидову геометрию, вспомнит, что 3² + 4² = 5², что 5² + 12² = 13², и так далее (этот список бесконечен). За последние несколько столетий математики пытались объяснить наличие такого контраста, и каждый раз терпели неудачу, оставляя, однако, за собой целые новые ветви математики. Среди этих ветвей – крупные области современной теории чисел, привлечённой Уайлсом для своего успешного решения, а также множество фундаментальных идей в каждой части науки, затронутой математиками. И однако никто до Уайлса не мог доказать утверждение Ферма.

Специалисты по информатике недавно ощутили радостное возбуждение, узнав о прогрессе, достигнутом в автоматическом подтверждении доказательств – амбициозной попытке реализовать формалистский подход к математике на практике. Для формалистов, математическое доказательство – это список утверждений, удовлетворяющих строгим ограничениям:

1. Заявления в начале списка должны включать в себя общепринятые идеи. В строгой интерпретации сюда входят только аксиомы формальной теории множеств, обычно из формальной системы, известной, как ZFC ^[4] (система Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). Это совершенно непрактично, поэтому мы также разрешаем включать сюда уже доказанные теоремы – к примеру, Великую теорему для случая n=4, который уже сам Ферма доказал в XVII веке.
2. Каждое следующее утверждение должно получаться применением правил логической дедукции к предыдущим утверждениям.
3. Наконец, доказанная теорема должна быть на последнем месте в списке.

Математическую логику разрабатывали в надежде установить математику на прочную основу – как аксиоматическую систему, свободную от противоречий, которая способна рассуждать, не скатываясь в нелогичность. Хотя работа Курта Гёделя ^[5] показала несбыточность этой мечты, многие философы от математики, а также некоторые логики (небольшое, но активное меньшинство, если верить специалистам по теории множеств), всё ещё относятся к ZFC и упомянутым требованиям, как к некоей конституции от математики.

Однако математики никогда не записывают доказательства таким способом. Логический анализ доказательства Уайлса указывает на множество шагов, не учитывающих ZFC, тая в себе потенциал для скандала: если математики придумывают правила, не проверяя их на конституционность, откуда они знают, что все они имеют в виду одно и то же?

Автоматическая проверка доказательств, кажется, предлагает решение этой проблемы. Она подразумевает переформулировку доказательства через набор раздельных заявлений, каждое из которых записано непротиворечивым языком, который компьютер может считать, а затем и подтвердить конституционную верность каждого шага. Этот трудоёмкий метод с успехом применялся ко многим длинным и сложным доказательствам, наиболее известное из которых – доказательство гипотезы Кеплера о наиплотнейшей упаковке сфер, сделанное Томасом Хейлсом. Проверка доказательства Уайлса давно считалась одной из главных целей. Поэтому мой друг, специалист по информатике, был искренне разочарован, что поиски «чистых математиков, безапелляционно поддерживающих использование автоматических инструментов в построении их аргументов», как он это сформулировал, пока не дают результатов.

"Арифметика ^[6]" Диофанта издания 1670 года, в котором в основной текст включена и печально известная заметка Ферма. В переводе она звучит так: «Кубу невозможно быть суммой двух кубов, четвёртой степени невозможно быть суммой двух четвёртых степеней, или, в общем, любому числу, представляющему собою степень, большую второй, невозможно быть суммой двух таких же степеней. Я открыл воистину чудесное доказательство этого предположения, для размещения которого здесь эти поля слишком узки».

Первое, что не учитывает это разочарование — что доказательство Уайлса, пусть сложное, имеет простую основу, которую легко объяснить обывательской аудитории. Допустим, что, в противоречие с утверждением Ферма, существует тройка положительных целых чисел a, b, c таких, что

(A) a^p + b^p = c^p

для некоего нечётного простого p (а достаточно рассматривать только простые числа). В 1985 году Герхард Фрей показал, что a, b и c можно перегруппировать в

(B) новое уравнение, под названием «эллиптическая кривая»

со свойствами, которые, как все считали, невозможны. Точнее говоря, уже давно было известно, как выразить эту эллиптическую кривую через

(С) представление Галуа

которое является бесконечным набором уравнений, связанных как с эллиптической кривой, так и друг с другом чёткими правилами.

Связь между этими шагами была хорошо известна в 1985 году. К тому времени большинство специалистов по теории чисел были убеждены – хотя доказательства пока не было – что каждому представлению Галуа можно назначить, опять-таки, по чётким правилам,

(D) модулярную функцию,

что-то вроде двумерного обобщения знакомых из тригонометрии функций синуса и косинуса.

Итоговое звено было получено, когда Кен Рибет подтвердил предположение Жан-Пьера Сера о том, что свойства модулярной функции, заданные формой эллиптической кривой Фрея, подразумевают существование

(E) ещё одной модулярной функции веса 2 и уровня 2.

Однако таких функций существовать не может. Следовательно, не существует ни модулярной функции (D), ни представления Галуа (С), ни уравнения (B), ни решения (A).

Оставалось лишь найти отсутствующее звено между (С) and (D), которое математики назвали гипотезой модулярности.

Это звено было объектом семилетних поисков Уайлса. С нашей текущей точки зрения тяжело в полной мере оценить отважность этого рискованного предприятия. Через двадцать лет после того, как Ютака Танияма и Горо Шимура в 1950-х впервые сообщили ^[7] о связи между (B) и (D) через (С), математики постепенно пришли к выводу, что это должно быть так. Именно эту надежду высказал в очень популярной работе Андре Вейл, которая идеально вписалась в крайне влиятельную программу Ленглендса ^[8], названную в честь канадского математика Роберта Ленглендса. Эта связь была слишком хорошей для того, чтобы не быть правдой. Однако гипотеза модулярности казалась совершенно недостижимой. Объекты типов (С) и (D) были слишком разными.

Специалист по информатике не пояснил, связано ли его разочарование с тем, что специалистам по теории чисел было неважно, что доказательство было ограничено поисками критически важного звена между (С) и (D), или что оно простиралось на всём промежутке от (A) до (E). Не буду пытаться разобраться в этом. Но если логикам нужно было только формально подтвердить опубликованное доказательство связи между (С) и (D), то их ожидания были слишком завышенными. Во-первых, Уайлс доказал лишь чуть более, чем достаточно для того, чтобы гипотеза модулярности завершала дедукцию «от (A) до (E)». Полную гипотезу модулярности установили несколько лет спустя Кристоф Бройль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тэйлор. Но это не бросает тень на работу Уайлса! Наоборот, то, что такое большое количество ведущих мировых специалистов по теории чисел пошли по стопам работы Уайлса всего через несколько месяцев после её появления, говорит о её богатстве.

К примеру, чуть позже, осенью 2016 года, 10 математиков встретились в Институте передовых исследований в Принстоне, Нью-Джерси, и смогли доказать наличие связи между эллиптическими кривыми и модулярными функциями в новых условиях. Все они использовали разные пути для понимания структуры доказательства Уайлса, появившегося, когда некоторые из них ещё были детьми. Если бы их попросили описать это доказательство в виде последовательности логических выводов, они, несомненно, выдали бы 10 разных его вариантов. Каждый из них напоминал бы путь от (A) до (E), описанный выше, но был бы гораздо более детальным.

Тем не менее – и это всегда упускают из философского взгляда на доказательства – каждый из этих десяти приписал бы авторство своего доказательства Уайлсу. Они бы ссылались на них тем же образом, что и на другие доказательства, изучаемые ими в разъяснительных статьях или на учебных курсах, которые они посещали или которые преподавали. И хотя каждый из десяти опустил бы какие-нибудь детали, в целом все они были бы правы.

Что же такое доказательства Уайлса, если оно может иметь так много разных вариантов? В математической философии принято относиться к опубликованному доказательству, как к приближению к идеальному формализованному доказательству, которое в принципе можно проверить на компьютере, применяющем правила формальной системы. Идеальное доказательство не загрязняется ничем, что находится за пределами формальной системы – так, будто бы каждый закон нёс на себе метку, подтверждающую его конституциональную оправданность.

Но такой подход противоречит тому, что сами математики говорят о своих доказательствах. Математики не применяют идеологических или философских лакмусовых тестов, но я убеждён, что большинство моих коллег согласятся с Майклом Фрэнсисом Атья, заявившим, что доказательство – «это итоговая проверка, но не основа чего-либо». Опубликованное доказательство явно не является основой чего-либо.

Уайлс и специалисты по теории чисел, уточнявшие и расширявшие его идеи, несомненно не ожидали получить предложения от двух логиков. Но – в отличие от многих людей, наблюдающих за теорией чисел издалека – они определённо понимали, что к такому доказательству, как к тому, что опубликовал Уайлс, не стоит относиться, как к некоему артефакту в себе. Наоборот, доказательство Уайлса – это стартовая точка открытого диалога, который является слишком неуловимым и живым, чтобы ограничивать его серьёзными пределами, чуждыми данной теме.

Автор: SLY_G

Источник ^[9]