- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Есть у меня любимый форум, посвящённый головоломкам. Недавно я наткнулся там на следующую задачу:
Сидел однажды Вася у себя на кухне и от нечего делать спички ломал. Поломал, поломал и задумался — чему равна вероятность того, что по крайней мере одна спичка будет переломана точно посередине? Запас спичек у Васи неограничен.
Я довольно быстро доказал, что вероятность этого события равна нулю. Гордый собой, я запостил решение и ответ, ожидая плюсика в карму. Оказалось, однако, что авторский ответ совсем другой: 1 — 1/e. Забегая вперёд, скажу, что этот ответ неверен.
Неправильные авторские решения — довольно частое явление в интернет-головоломках. И я ни за что не стал бы писать этот пост, если бы автором задачи, а также её неверного решения, не был британский логик и алгебраист Чарльз Л. Доджсон, более известный под псевдонимом Льюис Кэрролл.
Все математики знают, что автор «Алисы в стране чудес» был математиком. Широко известна байка о том, что королева Виктория, прочитав обеих «Алис», пожелала ознакомиться с другими книгами автора и была очень удивлена, когда ей принесли трактаты по аналитической геометрии и линейной алгебре. Помимо этих фундаментальных областей Кэрролл увлекался математическими головоломками и прочими интересностями. В 1888 году он издал книгу «Математические курьёзы», а спустя пять лет — её продолжение «Полуночные задачи», из которого и была взята задача про спички (разумеется, в оригинале не фигурировал никакой Вася). Ещё через пять лет Чарльза Доджсона не стало.
Решение, выложенное на форуме, было изложено очень коряво. Приходилось скорее угадывать, что именно хотел сказать автор. Тогда я обратился к источнику — той самой книге «Полуночные задачи». Мне предстояло удивиться второй раз: мой форумный оппонент не переврал ни единого слова. Переведя с русского на русский, я получил примерно следующее:
Возьмём n спичек, каждую из них разделим n точками на n + 1 равных частей. Положим, что n нечётно, а спички могут ломаться только в отмеченных точках, причём в каждой — с равной вероятностью. Тогда вероятность сломать спичку не посередине равняется 1 — 1/n, вероятность не сломать посередине ни одну из n спичек равняется (1 — 1/n)n. Устремляя n в бесконечность, получаем 1/e. Соответственно, вероятность сломать точно посередине хотя бы одну спичку будет равна 1 — 1/e.
В своём решении автор обошёлся единственной переменной n. На самом деле, у нас есть две переменных: количество спичек и число точек на каждой из них. Обозначим их как p и q соответственно. Тогда вероятность, что ни одна из p спичек не будет сломана в средней из q точек, равна F(p,q) = (1 — 1/q)p. Когда мы устремляем p и q к бесконечности, F устремляется к искомой вероятности… или не устремляется?
Проблема в том, что функция двух переменных F не имеет предела в бесконечности. При этом, однако, мы можем получить некий предел, двигаясь к бесконечности по определённой траектории (в данном случае Кэрролл находит предел по траектории, описываемой уравнением p = q). Однако значение этого предела целиком и полностью зависит от траектории. К примеру, если мы будем отмечать n точек, но брать не n спичек, а 2n, то получим вероятность (1 — 1/n)2n, которая в пределе даёт 1/e2.
Точно так же мы можем получить и 1/e3, и 1/e42, и даже 1/e256. Очевидно, что выбранный метод решения не подходит для данной задачи.
Вторая причина заключается в том, что в начальном и предельном случае мы, по сути, имеем дело с разными вероятностными пространствами и разными определениями вероятности. Когда мы выбираем одну точку из n, это происходит в рамках дискретного вероятностного пространства, выбор же точки на отрезке — уже геометрическая вероятность. Даже если такой переход корректен, это нуждается в дополнительном обосновании.
Нуль, разумеется. Геометрическая вероятность попасть в отдельно взятую точку равна нулю, не попасть в неё — единице. Вероятность не попасть в неё ни разу за бесконечное число попыток равна единице в степени бесконечность, что, в свою очередь, равняется… единице? Не совсем. Это такая же неопределённость, как и нуль, делённый на нуль. Здесь потребуются более тонкие методы.
Найдём такое c, что 1 — d = ec. Если быть точным, c = ln(1 — d). Пусть спички имеют единичную длину и пронумерованы. В середине первой спички закрасим отрезок длиной 1 — ec/2, в середине второй — длиной 1 — ec/4, в середине энного — длиной 1 — ec/2n. Отметим, что c < 0, поэтому все указанные длины будут положительны.
Вероятность того, что ни одна спичка не будет разломлена в точке, принадлежащей закрашенному отрезку, равна ec/2 * ec/4 *… * ec/2n *… = e(c/2 + c/4 +… + c/2n + ...) = ec = 1 — d. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один разлом попадёт в закрашенный отрезок, равна d. Поскольку если одна из спичек будет разломлена посередине, разлом придётся на закрашенный отрезок, мы можем заключить, что P < d.
Число d было выбрано произвольно. Значит, P меньше любого положительного числа, т.е. P = 0, ч.т.д.
Загадочная ошибка профессионального математика заинтриговала меня, и я решил найти оригинал книги. Помучив Гугл минут двадцать, мне удалось-таки добился желаемого. Что же я увидел?
Во-первых, изложение отличалось куда большей логичностью, нежели в русском переводе, который изначально показался мне весьма странным. Сравните, например:
The chance of one failure is (n — 1)/n
и
Вероятность сломать спичку в одной точке равна (n — 1)/n
Во-вторых, часть доказательства из перевода в оригинале попросту отсутствовала! В частности, там даже не была указана величина 1 — 1/e. Кроме того, там имелась интересная пометка:
N.B. What follows here was NOT thought out.
Важная Заметка: Следующая часть не была тщательно продумана.
Всё это указывает на то, что «неправильное решение» Кэрролла было скорее черновиком, нежели завершённым рассуждением. По каким-то неведомым нам причинам он просто не смог уделить достаточного внимания этой задаче. Также по выкладкам заметно, что математический анализ не является областью специализации автора.
Прояснив таким образом беспокоивший меня вопрос, я сел писать свой первый пост на Хабр.
Автор: Sirion
Источник [1]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/matematika/25693
Ссылки в тексте:
[1] Источник: http://habrahabr.ru/post/167041/
Нажмите здесь для печати.