Задачка: найти треугольник с меньшим периметром

Наткнулась на эту задачу совершенно случайно. У меня знакомая через год после окончания магистратуры снова решила учиться и начала готовиться к поступлению. А значит что-то нужно просто повторить и вспомнить, ну и разобраться с чем-то новым. Вот сидела она над какой-то задачей, я проходила мимо. Задача показалась весьма простой (школьного уровня), но надо немного подумать.

Итак, рассматриваемая здесь задача звучит так: даны угол и точка внутри него. Через эту точку провести отрезки, имеющие концы на сторонах угла, так, чтобы полученный треугольник имел наименьший периметр.
Задачка: найти треугольник с меньшим периметром - 1
Задачка является частью доказательства задачи Фаньяно ^[1].

Сама задача Фаньяно звучит следующим образом:

Рассматриваются всевозможные треугольники $DEF$

, вершины

которых лежат на сторонах $BC$

остроугольного треугольника $ABC$

соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника $ABC$

Ортоцентрический треугольник

Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника.

Первые мысли, которые приходят в голову, это, наверное, построить перпендикуляры (как кратчайшее расстояние до сторон). Отображаем точку $D$ симметрично относительно $AC$ и $AB$ (получаем точки $D_1$ и $D_2$ ).
Задачка: найти треугольник с меньшим периметром - 16
У некоторых сразу же может возникнуть искушение соединить точки пересечения перпендикуляров и сторон угла $BAC$ . После чего появляется ложное впечатления «я сделяль», и кажется, что $KDL$ — это тот самый треугольник.
Задачка: найти треугольник с меньшим периметром - 19
Всё не так. Тот факт, что две стороны треугольника — кратчайшие (перпендикуляры до прямой), еще не делает периметр треугольника минимальным.

На самом деле поиск треугольника с наименьшим периметром использует утверждение: кратчайшее расстояние между двумя точками – прямая. Дополнительные построения должны привести к тому, чтобы все длины сторон искомого треугольника оказались на прямой. Соединяем точки $D_1$ и $D_2$ . Точки пересечения прямой $D_1D_2$ со сторонами угла и есть оставшиеся искомые вершины треугольника.

Задачка: найти треугольник с меньшим периметром - 23

$FK$ и $EL$ являются медианами и высотами(точка $D$ симметрично отображена относительно сторон угла) треугольников $D_2DF$ и $DD_1E$ соответственно, значит треугольники $D_2DF$ и $DD_1E$ — равнобедренные. Видно, что периметр треугольника $DEF$ равен длине отрезка $D_1D_2$ . Треугольник с меньшим периметром найден.