Новое доказательство теоремы о многочлене

В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Пусть — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки найдется натуральное такое, что $f^{(n)}(x)=0$ . Тогда многочлен.

Доказательство

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:

1. Пусть и $F_{1},F_{2},...,F_{n},...$ замкнутые подмножества прямой, причем и $Hsubset bigcup limits_{n} F_{n}$ . Тогда в найдется точка, которая содержится в одном из $F_{n}$ вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка , натуральное и такие, что $(x-varepsilon;x+varepsilon)cap H subset F_{n}$ .

Действительно (от противного), выберем точку $x_{1} in H$ и окружим ее окрестностью $Delta_{1}=(x-varepsilon_{1};x+varepsilon_{1})$ , где $varepsilon_{1}<1$ . Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит $Delta_{1} cap H not subset F_{1}$ . Выберем в $Delta_{1} cap H$ точку $x_{2}notin F_{1}$ . Окружим $x_{2}$ интервалом $Delta_{2}=(x_{2}-varepsilon_{2};x_{2}+varepsilon_{2})$ таким, что концы этого интервала — точки $x_{2}-varepsilon_{2}$ и $x_{2}+varepsilon_{2}$ лежат в $Delta_{1}$ , а $varepsilon_{2}<frac{1}{2}$ . По предположению $Delta_{2}cap Hnotin F_{2}$ . Это позволяет выбрать в $Delta_{2} cap H$ некоторую точку $x_{3} notin F_{2},...$ Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов $Delta_{1}supset Delta_{2}supset ...$ Ясно, что

$x_{1}-varepsilon_{1}< x_{2}-varepsilon_{2}<...<x_{n}-varepsilon_{n}...$ , (1)
$x_{1}+varepsilon_{1}>x_{2}+varepsilon_{2}>...>x_{n}+varepsilon_{n}...$ (2)

Так как каждый промежуток $Delta_{i}cap Hneq varnothing$ , то $lim _{ito infty}(x_{i}-varepsilon_{i})=lim_{itoinfty} (x_{i}+varepsilon_{i})=y, yin H$ , а из (1) и (2) следует, что $yin Delta_{i}$ для каждого $i$ . Таким образом мы нашли точку $y in H$ , но не лежащую ни в одном из множеств
$F_{i} phantom{1} (i=1,2,...)$ .

Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция $f(x)$

— многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом $E$

. Множество $E'$

, дополнительное к $E$

обозначим через $F$

и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если $xin F$

, то

— неправильная точка).

2. Если каждая точка отрезка правильная, то сужение на — многочлен.

Действительно, для каждой точки $tin [a;b]$ найдется интервал такой, что сужение $f(x)$ на этот интервал — многочлен. Т.е. для каждой точки найдется интервал и некоторое натуральное $n$ , что $f^{(n)}(x)$ равна нулю на этом интервале.

Из компактности отрезка $[a;b]$ следует, что найдется такое натуральное $ m$ , что $f^{(m)}(x)=0$ всюду на $[a;b]$ , следовательно $f(x)$ — многочлен.

3. Если каждая точка полуинтервала правильная, то
сужение на — многочлен.

Доказательство. Рассмотрим возрастающую последовательность $a=a_{1}<a_{2}<a_{3}<...<a_{n}<...$ такую, что $a_{n}$ сходится к $b$ . По доказанному в предыдущем пункте на каждом из отрезков $[a_{1};a_{2}],...,[a_{1};a_{n}],...$ сужение $f(x)$ — многочлен. Пусть $P_{k}(x)$ — многочлен, совпадающий с $f(x)$ на отрезке $[a_{1};a_{k+1}]$ . Ясно, что $P_{k}(x)=P_{1}(x)$ для всех $k=2,3,...$ Поэтому $P_{1}(x)$ совпадает с $f(x)$ на $[a;b)$ , значит и в точке $b$ . (Напомним, что $P_{1}(x)$ и $f(x)$ непрерывны всюду на $R$ ).

Аналогично предыдущему легко доказать, что:

4. Если каждая точка полуинтервала или интервала — правильная, то — многочлен на .

Приступим к исследованию неправильных точек, т.е. точек множества $F$ .

5. Множество не содержит изолированных точек.

Действительно. Пусть $ain F $ — изолированная точка. Тогда для некоторого $varepsilon >0phantom{1} [a-varepsilon,a)$ и $(a,a+varepsilon]$ состоят из правильных точек. Значит, сужение $f(x)$ на $[a-varepsilon;a]$ и на $[a;a+varepsilon]$ многочлены. Ясно, что при достаточно большом $n$ ( $n$ должно быть больше степеней каждого из этих многочленов) $f^{n}(x)$ будет равна нулю всюду на $[a-varepsilon;a+varepsilon]$ . Т.е. $a$ является правильной точкой.

6. Пусть множество неправильных точек не пусто. Положим $E_{n}={ x:f^{(n)}(x)=0 }$ . Ясно, что $F subset bigcup limits_{n} E_{n}$ и каждое $E_{n}$ замкнуто. Из теоремы Бэра (см. 1.) следует, что найдется интервал такой, что и лежит в одном из $E_{n}$ .

Рассмотрим функцию $f^{(n)}(x)$ . Эта функция равна нулю в каждой точке $xin F cap (a;b)$ . Так как каждая неправильная точка является предельной для множества $F$ , то $f^{(n+k)}(x)=0$ для всех целых $kgeq 0$ и всех $xin (a;b)cap F$ .

Докажем, что $f^{n}(x)$ равна $0$ всюду на $(a;b)$ . Пусть не так. Тогда найдется $c in (a;b)$ такая, что $f^{(n)}(c)neq 0$ . Так как множество $F$ не пусто и замкнуто, то найдем в нем точку $d$ , ближайшую к $c$ . Для определенности положим $d < c$ . Функция $g(x)=f^{(n)}(x)$ бесконечно много раз дифференцируема на $[d;c], phantom{1} g(d)=0$ и все производные $g^{n}(d)=0$ . Так как $g(c) neq 0$ , то по теореме о конечных приращениях Лагранжа $g^{(n)}(x)$ не может быть равна нулю всюду на $(d;c)$ ни для одного натурального $n$ .

Новое доказательство теоремы о многочлене - 126

Слободник Семён Григорьевич,
разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре ^[1]), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы

Автор: Осипов Роман Алексеевич

Источник ^[2]

Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru

Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/matematika/277908

Ссылки в тексте:

[1] статью на Хабре: https://habrahabr.ru/company/tdb/blog/350006/

[2] Источник: https://habrahabr.ru/post/353522/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=353522

Нажмите здесь для печати.