Дети, математика и R

Нынешнее образование в школе все более и более редуцируется. А в оставшейся части акцент все более и более ставится на внешний эффект. «Проектная работа», презентации, вау-эффекты и пр. мишура. Причем зачастую непонятно, кому раздают все эти упражнения — ребенку или родителям? Следствием всего этого является необходимость дополнительных занятий в различных кружках, в рамках школы или же альтернативно, если есть цель дать ребенку полноценное образование.

В случае с математикой или физикой можно попытаться поймать двух зайцев (ну или зайца и зайчонка). Совместить решение задач из доп. занятий (школьная программа для этого не пригодна) с параллельным воспитанием культуры работы с данными и обучению алгоритмическим подходам. Речь идет не про чат-ботов в три строки, а о применении компьютера в рамках изначальной цели — проведение вычислений, проведение численных экспериментов, моделировании и выявлению скрытых зависимостей, на основании которых можно строить новые гипотезы.

Сразу отмечу, что тема будет интересна далеко не всем. Кому это неактуально — проходите мимо. У кого будут доп. идеи, было бы интересно тоже ознакомиться. Далее будет ряд задачек, которые были позаимствованы с курсов «Меташколы ^[1]», математика 3-ий класс. Естественно, что сначала задача решается логическими рассуждениями, потом обсуждается способ решения с применением компьютера. В качестве инструмента использовался R.

Является продолжением предыдущих публикаций ^[2].

Общая преамбула

library(tidyverse)
library(glue)
library(magrittr)
library(lubridate)
library(hms)
library(numbers)
library(polynom)
library(Ryacas)
library(stringi)
library(tictoc)

Далее приведен ряд задач, который расширять можно до бесконечности.

Восстановите запись

Задача

Восстановите запись: 3∗∗:∗3=3∗. Найдите сумму всех пропущенных цифр.

Пример решения

# Преобразуем 3ab = c3*3d

df <- 0:9 %>% 
  {tidyr::crossing(a = ., b = ., c = ., d = .)} %>%
  filter(300 + a * 10 + b == (c * 10 + 3) * (30 + d))
df

Задача

Можно ли расставить знаки арифметических действий вместо “∗” в записи 7∗(7∗7∗7)∗7, чтобы получить 8?

Пример решения

ops <- c('*', '/', '+', '-')
# соберем все возможные комбинации операндов
df <- tidyr::crossing(op1 = ops, op2 = ops, op3 = ops, op4 = ops) %>%
  # теперь сформируем команды для каждой комбинации переменных
  mutate(data = glue::glue("7 {op1} (7 {op2} 7 {op3} 7) {op4} 7"),
         expr = rlang::parse_exprs(data)) %>%
  mutate(res = purrr::map_dbl(expr, rlang::eval_bare)) %>%
  arrange(res) %>%
  filter(res == 8)
print(tbl_df(df), n = 20)

Задача

Подряд выписаны все числа от 1 до 100. Сколько раз в записи встречается цифра 4?

Пример решения

# в 100 нет цифры 4, поэтому редуцируем верхнюю грань до 99
# нумерация слева направо
tidyr::crossing(d1 = 0:9, d2 = 0:9) %>%
  # оставим только значения, где есть 4
  filter(d1 == 4 | d2 == 4) %>%
  arrange(d1, d2)

Задача

Цифру 9, с которой начиналось трёхзначное число, перенесли в конец числа. Получилось число, которое на 216 меньше. Назовите сумму цифр первоначального числа.

Пример решения

# нумерация слева направо: abc
df <- tidyr::crossing(b = 0:9, c = 0:9) %>%
  # считаем разницу если 9 слева и девять справа 
  mutate(delta = (900 + 10*b + c) - (100*b + 10*c + 9)) %>%
  filter(between(delta, 200, 230))
df

Задача

Произведение 5 последовательных натуральных чисел равно 2520. Назовите меньшее число.

Пример решения, способ 1

numbers::primeFactors(2520)

Пример решения, способ 2

# https://joftius.wordpress.com/2015/10/19/finding-multiple-roots-of-univariate-functions-in-r/
f <- function(x) {x * (x+1) * (x+2) * (x+3) * (x+4) - 2520}
rootSolve::uniroot.all(f, c(0, 2520))

Пример решения, способ 3

eq <- "x * (x+1) * (x+2) * (x+3) * (x+4) - 2520"
yacas(glue("Simplify({eq})"))

# руками зададим коэффициенты  на основании упрощенного полинома и найдем все корни
rts <- base::polyroot(c(-2520, 24, 50, 35, 10, 1)) # от нулевой степени к n-1
# оставим только реальные корни
# http://www.johnmyleswhite.com/notebook/2009/12/18/using-complex-numbers-in-r/
Re(rts[abs(Im(rts)) < 1^-10])

Задача

Какую цифру можно поставить вместо "∗", чтобы число 543∗ делилось на 4? Назовите все возможные варианты.

Пример решения

tibble(num = 5430 + 0:9, mod = mod(num, 4)) %>%
  arrange(mod, num)

Задача

Чему равна удвоенная треть четверти числа 60?

Пример решения

2*(1/3*(1/4*60))
60 %>% {./4} %>% {./3} %>% {.*2}

Задача

Циферблат часов без стрелок разделите на 2 части так что бы сумма чисел имеющиеся на каждом участке была одна и та же.
Доп. вопрос: на какое количество частей можно ещё разделить циферблат часов так, чтобы в каждой части находились числа сумма которых была бы равна между собой?

Пример решения

# поскольку речь идет о разбиении на 2 равные части, достаточно проанализировать 
# только половину пробега стрелки, вторая половина будет = остатку
sum(1:12) / 2

# вариант разбивки часов
for (i in 1:12){
  res <- cumsum(i:12)
  print(glue("Стартовая точка: {i}, накопительные суммы: {glue_collapse(res, ', ')}"))
  val <- which(res == 39)
  if(! identical(val, integer(0))){
    print(glue("Найден диапазон [{i}; {val + i - 1}]"))
  }
}

«Быки и коровы»

Вариация 1

В записи числа различные цифры от 1 до 5 включительно.
Число отгаданных цифр, стоящих на своих местах — это число быков. Число отгаданных цифр, стоящих не на своих местах — это число коров.

Назовите трёхзначное число, если известно:

314 — 1 бык и 1 корова;
124 — 1 бык и 1 корова;
523 — 1 бык и 1 корова.

Пример решения

library(tidyverse)
library(stringi)
# число вида "an_bn_cn". c -- неоднозначность с функцией

df <- c(1, 2, 3, 4, 5) %>%
  {tidyr::crossing(an = ., bn = ., cn = .)} %>%
  # отдельно сформируем комбинации
  mutate(comb = purrr::pmap(., c)) %>%
  # оставляем только подходящие сочетания
  mutate(val = stri_join(an, bn, cn)) %>%
  # учитываем допустимую позиционную раскладку быков
  # 314 - есть 1 бык
  filter(stri_detect_regex(val, "3[^1][^4]|[^3]1[^4]|[^3][^1]4")) %>%
  # 124 - есть 1 бык
  filter(stri_detect_regex(val, "1[^2][^4]|[^1]2[^4]|[^1][^2]4")) %>%
  # 523 - есть 1 бык
  filter(stri_detect_regex(val, "5[^2][^3]|[^5]2[^3]|[^5][^2]3")) %>%
  # исключим сочетания с совпадающими цифрами
  filter(purrr::map_int(comb, n_distinct) == 3) %>%
  # учитываем наличие только двух чисел (1 бык и 1 корова)
  filter(purrr::map(comb, ~length(base::intersect(.x, c(3, 1, 4)))) == 2) %>%
  filter(purrr::map(comb, ~length(base::intersect(.x, c(1, 2, 4)))) == 2) %>%
  filter(purrr::map(comb, ~length(base::intersect(.x, c(5, 2, 3)))) == 2) 

df

Вариация 2

В записи числа различные цифры от 1 до 5 включительно.
Число отгаданных цифр, стоящих на своих местах — это число быков.
Число отгаданных цифр, стоящих не на своих местах — это число коров.
Назовите трёхзначное число, если известно:

543 — 1 бык; 0 коров;
235 — 1 бык; 0 коров.

Пример решения

library(tidyverse)
library(stringi)

df <- c(1, 2, 3, 4, 5) %>%
  tidyr::crossing(d3 = ., d2 = ., d1 = .) %>%
  # отдельно сформируем комбинации
  mutate(comb = purrr::pmap(., c)) %>%
  # оставляем только подходящие сочетания
  mutate(val = stri_join(d3, d2, d1)) %>%
  # учитываем допустимую позиционную раскладку быков
  # 543 -- 1 бык; 0 коров
  filter(stri_detect_regex(val, "5..|.4.|..3")) %>%
  # 235 -- 1 бык; 0 коров
  filter(stri_detect_regex(val, "2..|.3.|..5")) %>%
  # исключим сочетания с совпадающими цифрами
  filter(purrr::map_int(comb, n_distinct) == 3) %>%
  # учитываем наличие только одного быка
  filter(purrr::map(comb, ~length(base::intersect(.x, c(5, 4, 3)))) == 1) %>%
  filter(purrr::map(comb, ~length(base::intersect(.x, c(2, 3, 5)))) == 1) 

df

Заполняем квадрат

Можно ли расставить в клетках квадратной таблицы 4 на 4 десять минусов так, чтобы в каждом столбце было нечётное число минусов, а в каждой строке было чётное число минусов?

Пример решения, вариант 1

# в каждом столбце должно быть нечетное, а в сумме 10. Итоговая разбивка: 3, 3, 3, 1
library(arrangements)
library(foreach)

# пронумеруем все ячейки:
#  1  2  3  4 
#  5  6  7  8
#  9 10 11 12
# 13 14 15 16

cmb <- arrangements::combinations(1:16, k = 10, replace = FALSE)
pryr::object_size(cmb)

# сделаем через итератор, будем отбрасывать комбинации, которые не соотв. условиям
icomb <- icombinations(1:16, k = 10, replace = FALSE)
foreach(x = icomb, .combine=c) %do% {
  # x - вектор с номерами позиций, куда ставим знаки "минус"
  # считаем и проверяем условия для комибнаций
  # колонки
  isOdd <- function(x, set){
    # проверяем нечетность
    length(base::intersect(x, set)) %% 2 == 1 
  }

  isEven <- function(x, set){
    # проверяем четность
    length(base::intersect(x, set)) %% 2 == 0
  }

  col_flag <- all(
    isOdd(x, c(1, 5, 9, 13)),
    isOdd(x, c(2, 6, 10, 14)),
    isOdd(x, c(3, 7, 11, 15)),
    isOdd(x, c(4, 8, 12, 16))
  )

  row_flag <- all(
    isEven(x, c(1, 2, 3, 4)),
    isEven(x, c(5, 6, 7, 8)),
    isEven(x, c(9, 10, 11, 12)),
    isEven(x, c(13, 14, 15, 16))
  )

  if(col_flag && row_flag) print(x)
}

Пример решения, вариант 2

# в каждом столбце должно быть нечетное, а в сумме 10. Итоговая разбивка: 3, 3, 3, 1
library(tidyverse)
library(magrittr)
library(arrangements)
library(foreach)

# пронумеруем все ячейки:
#  1  2  3  4 
#  5  6  7  8
#  9 10 11 12
# 13 14 15 16

# сделаем через итератор, будем отбрасывать комбинации, которые не соотв. условиям
icomb <- icombinations(1:16, k = 10, replace = FALSE)
df <- foreach(x = icomb, .combine = rbind) %do% {
  # x - вектор с номерами позиций, куда ставим знаки "минус"
  # считаем и проверяем условия для комибнаций
  # создаем матрицу
  v <- rep(0, 16)
  # заполним единицами позиции, заполненные минусами
  # browser()
  v[x] <- 1
  m <- matrix(v, nrow = 4, ncol = 4, byrow = TRUE)
  # проверяем условие: в каждом столбце нечётное число минусов, 
  # а в каждой строке чётное число минусов
  if (all(colSums(m) %% 2 == 1) && all(rowSums(m) %% 2 == 0)) 
    x else NULL
}

df %<>% as_tibble(.name_repair = "minimal")

# а так можно посмотреть конкретную раскладочку
v <- rep(0, 16)
# заполним единицами позиции, заполненные минусами
v[purrr::flatten_int(df[5, ])] <- 1
matrix(v, nrow = 4, ncol = 4, byrow = TRUE)

Комбинаторика

Задача

Сколько различных комбинаций из букв, в которых две одинаковые буквы не стоят рядом, можно составить, переставляя буквы К, А, Ш и А ?

Посмотрим на различные соображения Generating all distinct permutations of a list in R ^[3]

Пример решения

# Разбиваем строку на символы
# https://stackoverflow.com/questions/44918645/split-a-string-into-character-efficiently
lset <- unlist(base::strsplit("КАША", split = "", fixed = TRUE))
# для наших задач честная разбивка не подходит, нам нужно разные А иметь  
lset <- c("К", "А1", "Ш", "А2")
# library(permutations)

df <- tidyr::crossing(p1 = lset, p2 = lset, p3 = lset, p4 = lset)
ff <- function(...){
  vals <- rlang::list2(...)
  # browser()
  n_distinct(unlist(vals))
}
df %>% 
  # mutate(u = purrr::pmap_int(., ~n_distinct(.x)))
  mutate(u = purrr::pmap_int(., ff)) %>%
  filter(u == 4) %>%
  select(-u) %>%
  # соберем все обратно в строку
  mutate(s = purrr::pmap_chr(., stri_join)) %>%
  mutate_at(vars(s), stri_replace_all_regex, pattern = "(А\d+)", replacement = "А") %>%
  distinct(s) %>%
  # исключим повторы букв А
  filter(!stri_detect_fixed(s, "АА"))

Задача

Сколько воскресений может быть в году? Назовите наибольшее возможное число.

Пример решения

# берем високосный год, считаем полное число недель
366 %/% 7
# поглядим на остаток. В максимальном случае он должен попасть на воскресенье
366 %% 7

Задачка про пиратов

Пираты: A, B, C
Высказывание 1
A: У B 2 глаза
B: У C 2 глаза
C: У A 2 глаза

Высказывание 2
A: У нас на всех 2 глаза
B: У нас на всех 3 глаза
C: У нас на всех 4 глаза

Каждый пират наврал столько раз, сколько у него глаз. Сколько глаз у каждого пирата?

Пример решения

df <- tidyr::crossing(a = 0:2, b = 0:2, c = 0:2) %>%
  mutate(total = a + b + c) %>%
  mutate(a_lie = (b != 2) + (total != 2),
         b_lie = (c != 2) + (total != 3),
         c_lie = (a != 2) + (total != 4)) %>%
  filter(a_lie == a, b_lie == b, c_lie == c)
df

И т.д. и т.п.

Для кого-то это может оказаться поводом провести время со своим ребенком.

Предыдущая публикация — «Несколько соображений по поводу параллельных вычислений в R применительно к «enterprise» задачам» ^[4].

Автор: i_shutov

Источник ^[5]

Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru

Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/matematika/326139

Ссылки в тексте:

[1] Меташколы: https://metaschool.ru/

[2] предыдущих публикаций: https://habrahabr.ru/users/i_shutov/posts/

[3] Generating all distinct permutations of a list in R: https://stackoverflow.com/questions/11095992/generating-all-distinct-permutations-of-a-list-in-r

[4] «Несколько соображений по поводу параллельных вычислений в R применительно к «enterprise» задачам»: https://habr.com/ru/post/462469/

[5] Источник: https://habr.com/ru/post/462619/?utm_campaign=462619&utm_source=habrahabr&utm_medium=rss

Нажмите здесь для печати.