- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Началось всё с обсуждение на математическом StackOverflow: Meaning of Rays in Polar Plot of Prime Numbers [1]
«Недавно я начал экспериментировать с gnuplot и быстро сделал интересное открытие. Я построил все простые числа ниже 1 миллиона в полярных координатах, так что для каждого простого p (r, θ) = (p, p). Ничего особенного не ожидал, просто пробовал. Результаты впечатляют».
Если посмотреть на простые числа ниже 30000, можно увидеть спиральный узор.
Для сравнения — тот же график с наложенными на него числами, кратными 3 и 7. Штрихи выделены желтым цветом, кратные 3 и 7 — зеленым и красным соответственно.
Что действительно интересно, так это поведение при увеличении диапазона. Кратные данного числа кажутся спиралевидными по той же схеме в бесконечность, но простые числа начинают образовывать лучи группами по 3 или 4.
По сравнению с числами, кратными 3 и 7:
Связаны ли эти закономерности с теорема о простых числах? Являются ли эти лучи тем же явлением, что и диагональные линии в Скатерти Улама [2]?
В ответ на объяснение Грега Мартина [3] я решил добавить еще пару графиков. Чтобы понять, почему они актуальны, прочтите его ответ.
(г, θ) = (n, n), n∈N
Для начала можно поиграться с полярными координатами и рассмотреть все точки с целочисленными координатами: (1,1) (2,2)…
Получаем Архимедову Спираль:
Если исключить все числа, кроме простых, то получаем спиральную галактику с пробелами:
«Отдаляясь» мы можем увидеть направленные во все стороны лучи, по большей части в группах по 4 штуки:
Спирали можно посчитать, их 20 штук:
А лучей 280:
Если брать все числа, а не только простые, то спирали поровнее и их 44:
При самом близком рассмотрении у нас 6 спиралей:
Все числа, кратные 6 образуют одну ветку:
Остальные рукава спиралей 6к+1, 6к+2 и тд. Почему так? Потому что 6 примерно равно (полному обороту) 2ℼ (6.28318530718). Эта маленькая разница создает иллюзию единой кривой.
Если оставить только простые числа, останется только две спирали (6к+1 и 6к+5):
6 — почти полный круг, 44 — еще более точное приближение (44/2ℼ ≈ 7 полных кругов)
Только для простых чисел остается 20 рукавов (44к+1, 44к+3, 44к+5...). Функция Эйлера φ (44) = 20.
710/2ℼ ≈ 113. (113,00000959)
Для простых чисел будут пробелы:
Чем дальше отдаляемся, тем отчетливее проявляется кривизна всей структуры.
710=71*5*2. Это объясняет группировку по 4 луча (5) и «отломанные зубцы расчески» (71):
Функция Эйлера φ (710) = 280.
По теореме Дирихле, простые числа равномерно распределятся по рукавам.
Играясь с визуализацией, можно наткнуться на а) принцип Дирихле б) на приближения числа ℼ (и цепные дроби) в) дойти до функции Эйлера.
Спиралевидная форма — это артефакт, связанный с совпадением с четным числом радианов.
Ролик с русской озвучкой:
Еще работы по простым числам:
Цепные дроби от Савватеева:
Алексей Савватеев «Все о записи чисел»:
Автор: Алексей JetHackers Стаценко
Источник [6]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/matematika/359746
Ссылки в тексте:
[1] Meaning of Rays in Polar Plot of Prime Numbers: https://math.stackexchange.com/questions/885879/meaning-of-rays-in-polar-plot-of-prime-numbers
[2] Скатерти Улама: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%82%D1%8C_%D0%A3%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B0
[3] объяснение Грега Мартина: https://math.stackexchange.com/a/885894
[4] Bounded gaps between primes: https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/Yitang_Zhang.pdf
[5] Primes in tuples I: https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v170-n2-p10-p.pdf
[6] Источник: https://habr.com/ru/post/533066/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=533066
Нажмите здесь для печати.