- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Лучший способ объяснить школьникам и самому себе, что такое фазовое (конфигурационное) пространство.
Дано: Два блока массой 1 кг и 100 (10 000, 1 000 000,… 100x) кг. Трение в системе отсутствует, удары абсолютно упругие (потерь энергии нет). Более массивный блок ударяет менее массивный и тот отскакивает от него а потом от стенки.
Вопрос: Сколько столкновений совершит маленький блок, пока система не придет в состояние, когда столкновения невозможны?
Ответ невероятен:
В очередной раз поражаюсь изящности объяснений от 3Blue1Brown [1]. Предлагаю читабельный конспект с небольшими сокращениями и дополнениями.
В случае когда массы равны, мы насчитаем 3 столкновения:
Если разница масс в 100 раз, то количество столкновений 31:
Если разница масс в 10 000 раз, то столкновений будет 314:
+ еще один удар об стенку
Если разница в 1 000 000 раз, то столкновений 3141:
Если разница в 100 000 000 раз, то столкновений 31415:
Если разница в 10 000 000 000 раз, то столкновений 314159:
Эта закономерность была открыта Григорием Гальпериным [2] в 1995 и опубликована в 2003 году:
PLAYING POOL WITH ℼ [3] (2003)
Данный метод позволяет построить «физическую» машину вычисления числа ℼ с точностью до n-ного знака. Разница масс должна составлять 100(n-1) раз.
С реализацией, конечно, есть нюансы, ну да ладно. Зато красивая идея.
Throwing ℼ at a wall (2006) [4]
Механическая система описывается двумя законами сохранения: энергии и импульса.
Фазовое пространство для энергии системы представляет собой эллипс, но его можно откалибровать корнем из разницы масс:
Радиус окружности показывает энергию в системе — она всегда постоянная.
При столкновении двух блоков происходит перераспределение импульса и энергии:
Закон сохранения моментов задает угол наклона:
При ударе об стену (объект бесконечной массы) скорость блока меняется на противоположную:
Следующее соударение блоков:
Последующие столкновения:
Фазовая диаграмма удобна тем, что наглядно кодирует состояние системы:
Если присмотреться, можно заметить, что «столкновения» делят окружность на равные дуги. По теореме о вписанном угле. Встает вопрос, сколько дуг получится на окружности?
Всего длина окружности 2ℼ, а длина дуги определяется половиной угла, который равен соотношению корней из масс блоков (чем больше разница — тем меньше угол). Порядок разницы масс будет определять «точность» ℼ: 3, 31, 314
Автор: Алексей JetHackers Стаценко
Источник [6]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/matematika/359827
Ссылки в тексте:
[1] 3Blue1Brown: https://www.youtube.com/watch?v=jsYwFizhncE
[2] Григорием Гальпериным: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BD,_%D0%93%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%90%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87
[3] PLAYING POOL WITH ℼ: https://www.maths.tcd.ie/~lebed/Galperin.%20Playing%20pool%20with%20pi.pdf
[4] Throwing ℼ at a wall (2006): https://arxiv.org/pdf/1901.06260.pdf
[5] The Pi Machine: The most unexpected answer to a counting puzzle: https://medium.com/@christopher.fraser/the-pi-machine-the-most-unexpected-answer-to-a-counting-puzzle-b365db558b12
[6] Источник: https://habr.com/ru/post/533454/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=533454
Нажмите здесь для печати.