Кош на комплексной плоскости

В какой-то из весенних дней этого года я ехал в троллейбусе и листал комикс о Коше ^[1]. В одном из выпусков ^[2] была такая фраза «НО! Её можно понять, она же фракталами в горизонт перетекает, я бы тоже замешкался...». После этого я посмотрел в окно и понял, что если мы возьмём два подходящих дробно-линейных преобразования комплексной плоскости a(z) и b(z), и рассмотрим систему итерированных функций для a(z), b(z), a⁻¹(z), b⁻¹(z), взяв в качестве начального множества картинку с Кошем, то Кош будет перетекать фракталами в горизонт!

И вот несколько дней назад у меня дошли руки, чтобы написать нужный скрипт на питоне. Результаты мне и моим друзьям ^[3] понравились, и я решил написать эту хабрастатью.

Итак, если вы хотите узнать, что такое дробно-линейные преобразования комплексной плоскости, и как с помощью них получать фрактальные картинки, то добро пожаловать под хабракат. Там будет немножко бесполезной математики и много гифок.

Итак, возьмём Коша К и поместим его на комплексную плоскость:

Что мы можем с ним сделать? Например, можем сдвинуть в каком-нибудь направлении. Такое преобразование запишется в виде f(z) = z + a, где a — некоторое комплексное число.

Мы можем повернуть Коша на угол φ относительно начала координат. Такое преобразование запишется в виде f(z) = e^iφz.

Наконец, можем взять и увеличить Коша в k раз относительно начала координат. Как несложно догадаться, такое преобразование запишется как f(z) = kz.

Любое же линейное комплексное преобразование f(z) = az + b можно представить в виде композиции этих трёх.

Теперь пусть у нас есть некоторое преобразование f(z). Возьмём композицию этого преобразования с самим собой, получим преобразование f(f(z)) = f²(z), потом возьмём композицию f(z) и f²(z) получим преобразование f(f²(z)) = f(f(f(z))) = f³(z) и так далее до бесконечности. Например, если f(z) = z + a, то fⁿ(z) = z + na. Применяя эту серию преобразований к нашему Кошу и объединяя результат, получим что-то такое:

Но, например, если возьмём f(z) = ke^iφz (сжатие с коэффициентом k плюс поворот на угол φ), то получим уже более интересную картинку: спираль из Кошей. (При построении этой картинки исходный Кош был размещён так, чтобы точка 1 была у него на груди, k = 0,8, φ = π/3.)

Обращу внимание на тот факт, что спираль сворачивается в точку 0.

Наряду с положительными степенями отображения f(z) мы можем рассмотреть нулевую и отрицательные. С нулевой всё просто — это тождественное отображение: f⁰(z) = id(z) = z. С отрицательными чуть сложнее: нужно сначала обратить преобразование f(z), а затем рассмотреть положительные степени преобразования f⁻¹(z). Для преобразования f(z) из предыдущего абзаца f⁻¹(z) будет растяжением с коэффициентом k и поворотом на угол −φ. Поэтому, если на Коша подействовать всеми целыми степенями преобразования f(z) и объединить результаты, то получим бесконечную в обе стороны спираль из Кошей.

Спираль это конечно хорошо, но давайте немного оживим изображение, для этого заметим, что если на эту спираль подействовать преобразованием f(z), то ничего не изменится. В самом деле, любой из Кошей fⁿ(K) перейдёт в f(fⁿ(K)) = fⁿ⁺¹(K), но такой Кош уже в спирали есть. А в fⁿ(K) перейдёт Кош fⁿ⁻¹(K). Если мы хотим сделать гифку из N кадров, то нужно придумать такое преобразование g(z), что g^N(z) = f(z). Но это просто: g(z) = k^1/Ne^iφ/Nz, то есть g(z) сжимает в N раз меньше и поворачивает на угол в N раз меньший, чем f(z).

К спирали мы ещё вернёмся, а теперь немного фракталов. Для удобства введём следующие обозначения t_a(z) = z + a — сдвиг на a, r_φ(z) — поворот на угол φ и s_k(z) — сжатие в k раз. Рассмотрим три преобразования:

f₁(z) = t_i(r_π/2(s_0,6(z))),
f₂(z) = t_{sqrt(3)/2 − 0,5i}(r(_−π/6(s_0,6(z))),
f₃(z) = t_{−sqrt(3)/2 − 0,5i}(r_−5π/6(s_0,6(z))).

Предположим, что начало координат находится в центре Коша, что делает преобразование f₁(z) с Кошем? Оно его сжимает почти в два раза, далее кладёт на правый бок и поднимает вверх на единицу. (Обращаю внимание, что преобразования нужно читать справа налево.) Что-то похожее делают и остальные два преобразования — эти преобразования подобраны так, чтобы уменьшенные копии Коша оказались в вершинах правильного треугольника.

Но мы же не хотим ограничиваться тремя Кошами, их нам нужно бесконечно много, поэтому рассмотрим всевозможные композиции преобразований f₁(z), f₂(z) и f₃(z): id(z), f₁(z), f₂(z), f₃(z), f₁(f₁(z)), f₁(f₂(z)), f₁(f₃(z)), f₂(f₁(z)), f₂(f₂(z)), f₂(f₃(z)), f₃(f₁(z)), f₃(f₂(z)), f₃(f₃(z)), f₁(f₁(f₁(z))), f₁(f₁(f₂(z))), ..., f₃(f₁(f₂(f₃(f₁(z))))),… Подействуем на Коша всем этим множеством преобразований, а результаты объединим. Результат предсказуем и приведён ниже.

Снова добавим анимации, в этот раз сделаем, чтобы копии Коша вращались вокруг большего Коша. Как этого добиться? Предположим что мы хотим сделать N кадров, для кадра k рассмотрим подправленные преобразования f₁'(z) = r_2πk/(3N)(f₁(z)), f₂'(z) = r_2πk/(3N)(f₂(z)), f₃'(z) = r_2πk/(3N)(f₃(z)). Эти преобразования отличаются от исходных тем, что переводят Коша в вершины правильного треугольника, который повёрнут на угол 2πk/(3N) относительно исходного. Результат приведён ниже.

Все преобразования выше были линейными, с помощью них много интересного не сделаешь. Рассмотрим преобразование: f(z) = 1 / z — инверсия ^[4] плюс отражение относительно действительной оси. Что произойдёт с нашим Кошем, если на него подействовать этим преобразованием? Если начало координат не внутри Коша, то ничего страшного, Коша нужно сначала инвертировать относительно единичной окружности, а затем отразить относительно действительной оси, а если 0 будет внутри Коша, то его просто напросто разорвёт (так как на ноль делить нельзя ^[5]). Ниже приведено несколько примеров.

Заметим, что преобразование 1 / z внешность единичной окружности переводит во внутренность единичной окружности, а внутренность единичной окружности во внешность.

Теперь рассмотрим преобразования вида f(z) = (az + b) / (cz + d). Именно такие преобразования называются дробно-линейными ^[6]. Любое такое преобразование можно представить в виде композиции уже известных нам, а именно: f(z) = f₄(f₃(f₂(f₁(z))), где f₁(z) = z + d/c — сдвиг, f₂(z) = 1 / z — инверсия плюс отражение, f3(z) = −(ad − bc) / c²z — сжатие/растяжение + поворот, f₄(z) = z + a/c — ещё один сдвиг. Поэтому если задано какое-то преобразование, то можно быстро понять, что оно делает.

Удобство же рассмотрения преобразования именно в виде дроби в следующем: очень просто находить композиции дробно-линейных преобразований и обращать дробно-линейные преобразования тем, кто умеет работать с матрицами. В самом деле, если, преобразованию поставить в соответствие матрицу 2 x 2, в которой очевидным образом расставлены коэффициенты a, b, c, d, то композиции соответствует произведение матриц, а обращению — обращение матрицы.

Второе удобство заключается в том, что сразу по записи видно, в какую точку переходит точка 0, а в какую точку — бесконечность, а также какая точка перейдёт в 0, а какая — в бесконечность.

Ещё одним важным для нас свойством является тот факт, что прямые переходят в прямые или окружности, а окружности тоже либо в прямые, либо в окружности. Более точно: если прямая или окружность содержит точку, которая уйдёт в бесконечность, то она станет прямой, иначе же станет окружностью ^[7].

Вернёмся к нашей спирали. Применим к ней преобразование, которое 0 переведёт в −1, а бесконечность — в 1: r(z) = (z + 1) / (z − 1). Так как спираль заматывалась вокруг нуля, то теперь она станет заматываться вокруг −1, но ещё спираль разматывалась из бесконечности, поэтому она станет разматываться из 1.

Рассмотрим на комплексной плоскости полярную сетку и в каждую ячейку этой сетки поместим Коша.

Рассмотрим преобразование f(z) = ke^iφz. Оно поворачивает полярную сетку на угол φ и сжимает все клетки в k раз. Если рассмотреть последовательно несколько кадров, то получится следующее:

Если мы попытаемся уследить за каким-нибудь из Кошей, то увидим, что он движется по разматывающейся спирали, а с ней мы уже разобрались, поэтому понятно, что произойдёт, если ещё сделать преобразование r(z) = (z + 1) / (z − 1).

Если в каждой клетке сетки Коша положить на бок, то получим немного другую картину.

Преобразование f(z) является локсодромическим, можно также рассмотреть ^[8] и преобразования других типов.

Мы разобрались с одним дробно-линейным преобразованием, теперь следует налить себе чашку вкусного чая и рассмотреть два преобразования:

a(z) = (sqrt(2)z + 1) / (z + sqrt(2)),
b(z) = (sqrt(2)z + i) / (−iz + sqrt(2)).

Что делает преобразование a(z)? Разложим его в композицию f₄(f₃(f₂(f₁(z))): f₁(z) = z + sqrt(2) — сдвиг на sqrt(2) вправо. f₂(z) = 1 / z — инверсия относительно начала координат плюс отражение относительно действительной оси, f₃(z) = −z — поворот на угол π, f₄(z) = z + sqrt(2) — сдвиг на sqrt(2) вправо. Или если собрать всё вместе, то получится, что внешность единичной окружности C₁ с центром в −sqrt(2) переходит во внутренность единичной окружности C₂ с центром в sqrt(2), а внутренность окружности C₁ во внешность окружности C₂.

Преобразование a⁻¹(z) действует, как и положено обратному преобразованию, в точности наоборот.

Аналогично действует и преобразование b(z) — только окружности C₁ и C₂ имеют центры в точках −isqrt(2) и sqrt(2).

Самое время перейти к фракталам: рассмотрим всевозможные композиции отображений a(z), b(z), a⁻¹(z) и b⁻¹(z) и подействуем ими на Коша:

Чтобы получить гифку, снова заметим, что если к полученной картинке применить преобразование a(z) или b(z), то ничего не изменится. Рассмотрим, например, b(z): придумаем такое преобразование g(z), для которого g^N(z) = b(z). Это несложно сделать, так как известно, что преобразование b(z) можно представить в виде b(z) = t⁻¹(m(t(z))), где t(z) = (z − z₁) / (z − z₂), m(z) = ke^iφz, а z₁ и z₂ — неподвижные точки отображения b(z).
Неподвижные точки несложно найти: решим квадратное уравнение b(z) = z и получим z₁ = −i, z₂ = i, откуда получаем, что m(z) = t(a(t⁻¹(z))), следовательно, m(z) = (sqrt(2) + 1)z / (sqrt(2) − 1). Поэтому g(z) = t⁻¹((sqrt(2) + 1)^1/N t(z) / (sqrt(2) − 1)^1/N) = ((q + w)z/2 + i(q − w)/2) / (−i(q − w)z/2 + (q + w)/2)), где q = (sqrt(2) + 1)^1/N, w = (sqrt(2) − 1)^1/N.

Программируем и получаем:

Тут интересно заметить, что преобразование g(z) оказалось автоморфизмом единичного круга.

Наконец, если сначала применить к Кошу g(z), а затем уже остальные отображения, то получится тоже неплохо:

На этом всё.

Если кто-то захочет узнать больше, то рекомендую книгу Indra's Pearls ^[9] Мамфорда и др.

Если кто-то захочет поэксперементировать, то код выложен на гитхабе ^[10].

Если кто-то захочет позалипать, то можно это сделать на coub: раз ^[11] и два ^[12].

Автор: mkot

Источник ^[13]