Гарантии получения корректного результата при расчете динамических систем

Прочитав статью «Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент» ^[1], проверил расчеты с помощью аналитически-численного метода [1].

Результаты расчета на фазовой плоскости z(x):
^[2]

И y(x):
^[3]

Кажется, что кривые замкнуты, но давайте рассмотрим результат поподробнее.

Взяв параметры для расчета из статьи «Динамическая система Лоренца и вычислительный эксперимент» ^[1]:
Предначальные условия, параметры динамической системы, точность математических операций — 180 знаков после запятой, точность по степенному ряду 1e-9, получим следующий результат в точке t = 6.827:

Значения производных:

Несложно видеть, что результаты расчетов несколько отличаются от изложенных в статье.
Кроме того, если подставить результат из статьи (найденные приближенные значения решений) в исходную систему уравнений, то получим значения производных также отличающихся от указанных в статье:

Отмечу, что повышение точности расчетов (количество учитываемых знаков после запятой и точность по степенному ряду) приводит лишь к сужению области, содержащей точные решения. Например, при задании точности 1e-55, область в точке t = 6.827 сужается до .

Далее, я решил продолжить расчет до точки t = 12.827 и рассмотреть график результатов расчета на фазовых плоскостях z(x):

И y(x):

На графиках четко видно что кривые не замкнуты. Если быть еще точнее, они и на первых графиках не замкнуты, просто масштаб, в котором отображены фазовые траектории, не позволяет увидет точку разомкнутости.

Таким образом, нельзя говорить ни о каком возвращении траектории в окрестность начальной точки — об этом говорится в статье. А делать выводы на основе расчетов необходимо всегда с оглядкой на погрешность вычислений (как методическую так и вычислительную).

Литература:
1. Бычков Ю., Щербаков С. Аналитически-численный метод расчета динамических систем. — Санкт-Петербург: Энергоатомиздат,2001.

Автор: Surgun

Источник ^[4]