- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Перевод поста Олександра Павлыка (Oleksandr Pavlyk), «Jacob Bernoulli’s Legacy in Mathematica [1]».
Скачать перевод в виде документа Mathematica, который содержит весь код использованный в статье, а также дополнительные материалы, можно здесь [2].
16 января 2015 г. исполнилось 360 лет со дня рождения Якоба Бернулли [3].
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
Якоб Бернулли стал первым математиком известнейшей семьи Бернулли [4], к которой принадлежат многие известные математики XVII и XVIII веков.
Математическое наследие Якоба Бернулли очень богато. Он ввел так называемые числа Бернулли (Wiki [5] / MathWorld [6]), нашел решение дифференциального уравнения Бернулли (Wiki [7] / MathWorld [8]), изучал процесс Бернулли (Wiki [9] / MathWorld [10]), доказал неравенство Бернулли (Wiki [11] / MathWorld [12]), вычислил число e (Wiki [13] / MathWorld [14]), а также выявил слабый закон больших чисел (теорема Бернулли) (Wiki [15] / MathWorld [16]).
In[5]:=
Out[5]=
Трактат Бернулли Ars Conjectandi [17] (The Art of Conjecturing — Исскусство предположения) был посмертно опубликован в 1713 г., спустя 8 лет после его кончины, он был написан на латыни, лингва франка [18] своего времени. Она рассматривается как основополагающая работа по теории вероятностей. О ее важности свидетельствует, в частности, то, что она была переведена на французский [19] G. Le Roy в 1801 г. и, недавно, на английский [20] E. D. Sylla в 2005 г.
Ars Conjectandi состоит из 4 частей. Первая часть воспроизводит работу Христиана Гюйгенса De Ratiociniis in Ludo Aleae [21]. (On Reasoning in Games of Chance — О расчётах в азартной игре) с обширными комментариями от Бернулли и подробными решениями пяти проблем Гюйгенса, поставленных в конце работы Гюйгенса с указанием ответов, но без доказательств. В первой части Бернулли также выводит вероятность того, что среди n независимых испытаний будет по крайней мере m успешных, если вероятность успеха в каждом испытании равна p:
Вторая часть “The Doctrine of Permutations and Combinations” (Учение о перестановках и комбинациях) посвящена комбинаторике и изучению фигурных чисел (Wiki [22] / MathWorld [23]), т. е. чисел, которые могут быть представлены в виде набора точек, расположенных на плоскости в форме правильных геометрических фигур:
Именно в этой части Бернулли ввел так называемые числа Бернулли. Он начал с того, что выявил соотношение для биномиальных коэффициентов , которое имеет вид:
.
In[6]:=
Out[6]=
Бернулли знал, что для фиксированного значения числа m, биномиальный коэффициент представляет собой полином от переменной n, а именно . Это тождество позволило ему вывести значения сумм степеней натуральных чисел . Он получил таблицу результатов для 0≤m≤10.
Для того, чтобы воспроизвести таблицу, полученную Бернулли, создадим функцию, задающую уравнения для сумм степеней натуральных чисел:
In[7]:=
In[8]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[9]=
In[10]:=
Out[10]=
Решая полученную систему уравнений, получим:
In[11]:=
Out[11]=
Бернулли писал, что “Тот, кто внимательно изучил полученную последовательность, может продолжить Таблицу далее без каких либо дополнительных вычислений”, заметив, что:
Он отметил, что коэффициенты не зависят от n, и могут быть вычислены рекурсивно, если подставить n==1 в уравнение выше.
In[12]:=
Out[12]=
Эти коэффициенты и есть известные числа Бернулли, которые нашли свое применение во множестве областей математики [например, см. обсуждение Why do Bernoulli numbers arise everywhere? [24] (Почему числа Бернулли появляются повсюду?) на сайте mathoverflow.net]:
In[13]:=
Out[13]=
Во второй части своей книги Бернулли вычисляет число возможных перестановок, число перестановок в множестве с повторяющимися элементами, число способов выбора заданных объектов из множества и т. д., которые он позже применяет для вычисления вероятности, как отношения числа благоприятных событий к общему возможному числу событий.
В третьей части Бернулли применяет результаты, полученные в предыдущих двух частях к решению 24-х проблем, связанных с азартными играми. Лейтмотивом всех этих задач является последовательность независимых результатов 0 и 1, которая получила название “процесса Бернулли”. Думаю, что 360-летие со дня рождения Якоба Бернулли является отличным поводом для того, чтобы решить его задачи в Mathematica с помощью Wolfram Language.
Например, в задаче 9 требуется найти ожидаемый выигрыш в игре трех игроков. Игроки поочередно берут карты (без замены и возвращения) из колоды в 20 карт, при этом 10 из них фигурные. Когда карты заканчиваются, выигрыш распределяется поровну среди тех игроков, у которых фигурных карт оказалось больше.
Положим, что c1, c2, и c3 — число фигурных карт у каждого игрока, тогда доля выигрыша первого игрока будет равна:
In[14]:=
Предположи, что после того, как колода из 20 карт была таким образом распределена между игроками, получилось так, что первый и второй имеют по 7 карт, а третий — 6. Итоговый вектор распределения фигурных карт между игроками имеет многомерное гипергеометрическое распределение, которое задается в языке Wolfram Language функцией MultivariateHypergeometricDistribution [25]:
In[15]:=
In[16]:=
Out[16]=
In[17]:=
Out[17]=
Эта и другие задачи рассмотрены и решены в приложенном документе [2] (на англ. языке).
В заключительной части трактата Ars Conjectandi обсуждается использование теории вероятностей в решении гражданских, нравственных и экономических вопросов. В этой части Бернулли утверждает, что теория вероятностей отражает наше неполное знание о состоянии мира, и, в отличие азартной игры, где вероятность может быть определена путем нахождения отношения числа благоприятных исходов некоторого опыта к их общему возможному числу, вероятность в “реальной” жизни не может быть априори установлена. Бернулли утверждает, что эти неизвестные вероятности могут быть вычислены на основе результатов, наблюдавшихся в прошлом.
Он доказал слабый закон больших чисел, который утверждает, что наблюдаемая частота успехов в серии из n независимых испытаний, вероятность успеха в каждом из которых равна p, будет неограниченно приближаться к p с неограниченным увеличением количества испытаний. Таким образом, мы можем оценить вероятность с произвольной точностью, взяв достаточное количество испытаний. Таким образом, для любых δ и ε, найдется такое число n (количество испытаний), что
In[18]:=
Out[18]=
Демонстрация “Имитация эксперимента по подбрасыванию монеты и закон больших чисел [26]” (Simulated Coin Tossing Experiments and the Law of Large Numbers [26]), созданная Яном Маклеодом (Ian McLeod) для сайта Wolfram Demonstrations Project, в частности, демонстрирует этот процесс сходимости.
Автор: OsipovRoman
Источник [27]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/programmirovanie/79920
Ссылки в тексте:
[1] Jacob Bernoulli’s Legacy in Mathematica: http://blog.wolfram.com/2015/01/15/jacob-bernoullis-legacy-in-mathematica/
[2] здесь: http://goo.gl/QdXwuz
[3] Якоба Бернулли: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8,_%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1
[4] семьи Бернулли: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8_(%D1%81%D0%B5%D0%BC%D1%8C%D1%8F)
[5] Wiki: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8
[6] MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html
[7] Wiki: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8
[8] MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/BernoulliDifferentialEquation.html
[9] Wiki: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8
[10] MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/BernoulliTrial.html
[11] Wiki: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8
[12] MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html
[13] Wiki: https://ru.wikipedia.org/wiki/E_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)
[14] MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/e.html
[15] Wiki: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B8%D1%85_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB
[16] MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/WeakLawofLargeNumbers.html
[17] Ars Conjectandi: https://books.google.com/books?id=kD4PAAAAQAAJ
[18] лингва франка: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D0%B2%D0%B0_%D1%84%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%BA%D0%B0
[19] французский: http://books.google.ru/books/about/L_art_de_conjecturer.html?id=vHIAAAAAMAAJ&redir_esc=y
[20] английский: http://www.amazon.com/Conjecturing-together-Letter-Friend-Tennis/dp/0801882354
[21] De Ratiociniis in Ludo Aleae: http://books.google.com/books/about/De_ratiociniis_in_ludo_aleae.html?id=yS76XzFNcpMC
[22] Wiki: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B3%D1%83%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0
[23] MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/FigurateNumber.html
[24] Why do Bernoulli numbers arise everywhere?: http://mathoverflow.net/questions/61252/why-do-bernoulli-numbers-arise-everywhere
[25] MultivariateHypergeometricDistribution: http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/MultivariateHypergeometricDistribution.html
[26] Имитация эксперимента по подбрасыванию монеты и закон больших чисел: http://demonstrations.wolfram.com/SimulatedCoinTossingExperimentsAndTheLawOfLargeNumbers/
[27] Источник: http://habrahabr.ru/post/248173/
Нажмите здесь для печати.