Разбор задач 1 тура школы программистов HeadHunter

Прошел первый раунд отбора участников в школу программистов HeadHunter ^[1], анонс на хабре ^[2]
Где после заполнения анкеты предлагалось решить 5 задачек

В анкете просили заполнить следующие поля:

• ФИО
• дату рождения
• электронную почту
• город
• ВУЗ
• факультет
• год окончания
• специальность
• тему последней курсовой или диплома
• какие из прослушанных предметов больше всего вам понравились
• место работы и должность для работающих
• на каких языках программируете
• описать опыт разработки
• участие в олимпиадах и сертификаты
• почему Вас заинтересовала программа, ожидания от участия

Задача 1

Условие

Для скольки n и k, при условии 1<=n<132, 1<=k<n число сочетаний C(n,k)>1000000?

Полный принтскрин задания

Думаем

Над чем тут думать? 132 это очень мало, подойдет полный перебор, реализуем его на Питоне.
Реализацию числа сочетаний возьмем из пакета SciPy ^[3] — во многих смыслах это опен-сорс Matlab

Решаем

from scipy.misc import * # отсюда возьмем число сочетаний
total = 0
for n in range(1,133):
	for k in range(1,n):
		if comb(n,k)>1000000:
			total=total+1
print "Answer: ",total

Запустим, замеряя время выполнения:

#:~/hh$ time python 1.py 
Answer:  7579

real	0m0.530s
user	0m0.504s
sys	0m0.020s
#:~/hh$ 

Задача 2:

Условие

В мешке находится 1 красный и 1 синий диск. Во время игры игрок за ход берет случайный диск из мешка, его цвет записывают. После каждого хода взятый диск возвращают в мешок и добавляют туда еще один красный диск.
Игрок платит 1 евро за игру и выигрывает, если в конце игры он достал больше синих дисков, чем красных. Если игра длится 4 хода, вероятность выигрыша равна 11/120, таким образом, максимальный приз, который ведущий игры может назначить за выигрыш в этой игре составляет 10 евро, иначе он начнет нести убытки.
Обратите внимание, что это целое число и оно включает в себя первоначальную оплату участия, таким образом, игрок реально выигрывает 9 евро.
Найдите максимальную целую сумму приза, не делающую игру невыгодной ведущему в игре из 30 ходов?

То же задание принтскрином

Понимаем условие

В процессе игры количество красных шаров увеличивается, значит падает вероятность достать единственный синий. Чтобы выиграть, нужно достать больше половины синих. За первый раз угадать синий вероятность 1/2 за второй раз 1/3, за n-ный раз вероятность достать синий равна 1/(n+1).

Разбираем пример из условия

Если длительность игры равна 4 ходам, получаются вероятности 1/2, 1/3, 1/4, 1/5. Чтобы выиграть, можно ошибиться только 1 раз. Причем в какой из попыток мы ошиблись неважно. Посчитаем, какова вероятность успеха: 1/60+1/40+1/30+1/24+1/120=15/120

Думаем

Факториал 30 число маленькое, опять используем полный перебор. Генератор числа сочетаний возьмем из встроенного в питон пакета itertools ^[4]

Решаем

import itertools
game=30
comb=[]
resb=1
for t in range(2,game+2):
        comb.append(t)
        resb=resb*t # считаем знаменатель дроби
print comb
resa=0
for q in range(game/2+1,game+1): # вытащить нужно больше половины синих
        print q,resa,resb # промежуточные результаты
        for t in itertools.combinations(comb,q): # перебираем все комбинации
                ca=1
                cb=1          
                for x in t:
                        cb=cb*x
                tdiv=resb/cb
                resa=resa+tdiv*ca          
print game/2+1
print resa,resb # числитель и знаменатель дроби результирующей вероятности выиграть

#:~/hh/article$ time python 2.p
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]
16 0 8222838654177922817725562880000000
17 6014558687904548121004575 8222838654177922817725562880000000
18 6363613319405364461146200 8222838654177922817725562880000000
19 6381128687025974988156255 8222838654177922817725562880000000
20 6381886877953385972148180 8222838654177922817725562880000000
21 6381915085555093961253855 8222838654177922817725562880000000
22 6381915982709887260743580 8222838654177922817725562880000000
23 6381916006925362413306495 8222838654177922817725562880000000
24 6381916007474554489499970 8222838654177922817725562880000000
25 6381916007484879987901695 8222838654177922817725562880000000
26 6381916007485037971122090 8222838654177922817725562880000000
27 6381916007485039887292479 8222838654177922817725562880000000
28 6381916007485039905011334 8222838654177922817725562880000000
29 6381916007485039905128639 8222838654177922817725562880000000
30 6381916007485039905129134 8222838654177922817725562880000000
16
6381916007485039905129135 8222838654177922817725562880000000

real	23m2.424s
user	23m0.238s
sys	0m0.168s
#:~/hh/article$

Пока считает 23 минуты решаем другие задачи.
дробь нужно перевести в максимальный выигрыш — делим знаменатель на числитель, получаем размер выигрыша «самоокупаемости».

#:~/hh/article$ bc -l
bc 1.06.95
Copyright 1991-1994, 1997, 1998, 2000, 2004, 2006 Free Software Foundation, Inc.
This is free software with ABSOLUTELY NO WARRANTY.
For details type `warranty'. 
8222838654177922817725562880000000/6381916007485039905129135
1288459240.85082818135254719839
^C
(interrupt) use quit to exit.
#:~/hh/article$ 

Нам нужен максимальный предудыщий, в ответ записываем целую часть, т.е. 1288459240

Задача 3:

Если в числе все цифры не меньше стоящих слева от них, оно называется увеличивающимся. Пример — 133456. Соответственно, если числа не меньше стоящих справа, оно называется убывающим. Пример: 66420.
Числа, которые не являются ни возрастающими, ни убывающими мы будем называть прыгающими.
Сколько существует пыргающих чисел, меньше 10^75?

Принтскрин задания

Думаем:

Полный перебор долго, а индукция применяется отлично (динамическое программирование)
Действительно, к любому увеличивающемуся числу слева можно приписать от 1 до первой цифры числа включительно, а к любому убывающему справа можно приписать от нуля до последней цифры числа включительно.

Решаем:

# объявляем словари индукции
a={} # храним увеличивающиеся
b={} # для убывающих
for t in range(0,11):
	a[1,t]=1 # Первый ключ - длина числа, второй ключ - левая(правая) цифра. Значение - количество таких чисел
	b[1,t]=1
def snext(tail):
	global a,b
	tvar=0
	btvar=0
	for d in range(0,11): # объявляем для чисел новой длины
		a[tail,d]=0
		b[tail,d]=0
        for d in range(1,10): # приписываем слева цифры
		var=0
		bvar=0
		t=a[tail-1,d]
		tb=b[tail-1,d]
		for q in range(1,d+1):
			var=var+t
			a[tail,q]=a[tail,q]+t#var
		tvar=tvar+var
	for d in range(0,10): # приписываем справа цифры
		bvar=0
		tb=b[tail-1,d]
                for q in range(d,10):
                        bvar=bvar+tb
                        b[tail,q]=b[tail,q]+tb
		btvar=btvar+bvar	
	btvar=btvar-1
	print tail,tvar,btvar
	return [tvar,btvar]	
start=0
for q in range(2,76):
	[pa,pb]=snext(q)
	start=start-pa-pb-9 # т.к. числа состаящие из одних единиц, двоек, ...., девяток учитываем дважды - вычитаем лишние 9
start=start-10 # вычитаем лишние однозначные числа
print "10^75", start

#:~/hh/article$ time python 3.py 
2 45 54
3 165 219
4 495 714
5 1287 2001
6 3003 5004
7 6435 11439
8 12870 24309
9 24310 48619
10 43758 92377
11 75582 167959
12 125970 293929
13 203490 497419
14 319770 817189
15 490314 1307503
16 735471 2042974
17 1081575 3124549
18 1562275 4686824
19 2220075 6906899
20 3108105 10015004
21 4292145 14307149
22 5852925 20160074
23 7888725 28048799
24 10518300 38567099
25 13884156 52451255
26 18156204 70607459
27 23535820 94143279
28 30260340 124403619
29 38608020 163011639
30 48903492 211915131
31 61523748 273438879
32 76904685 350343564
33 95548245 445891809
34 118030185 563921994
35 145008513 708930507
36 177232627 886163134
37 215553195 1101716329
38 260932815 1362649144
39 314457495 1677106639
40 377348994 2054455633
41 450978066 2505433699
42 536878650 3042312349
43 636763050 3679075399
44 752538150 4431613549
45 886322710 5317936259
46 1040465790 6358402049
47 1217566350 7575968399
48 1420494075 8996462474
49 1652411475 10648873949
50 1916797311 12565671260
51 2217471399 14783142659
52 2558620845 17341763504
53 2944827765 20286591269
54 3381098545 23667689814
55 3872894697 27540584511
56 4426165368 31966749879
57 5047381560 37014131439
58 5743572120 42757703559
59 6522361560 49280065119
60 7392009768 56672074887
61 8361453672 65033528559
62 9440350920 74473879479
63 10639125640 85113005119
64 11969016345 97082021464
65 13442126049 110524147513
66 15071474661 125595622174
67 16871053725 142466675899
68 18855883575 161322559474
69 21042072975 182364632449
70 23446881315 205811513764
71 26088783435 231900297199
72 28987537150 260887834349
73 32164253550 293052087899
74 35641470150 328693558049
75 39443226966 368136785015
10^75 -3497299458233

real	0m0.070s
user	0m0.044s
sys	0m0.020s
#:~/hh/article$ 

Задача 4:

Найдите номер такого члена последовательности Фиббоначи, что число цифр в нем равно 1369

Полный принтскрин задания

Думаем:

Будем считать числа Фиббоначи, переводить в строковое представление и смотреть на длину.

Решаем:

mlen=1369
a1=1
a2=1
ct=2
while len(str(a1+a2))<mlen:
	a3=a1+a2
	a1=a2
	a2=a3
	ct=ct+1
ct=ct+1
print a3,len(str(a3)),ct

#:~/hh$ time python 4.py
780900524347766560369409601397283583731565781613263766310753171005772816606447127796238704640229315255837674837377848165134157698160368949544530968794502543368882016531029514678028439260706408177729197487662072465572674876642154084378757480925617839826591149409430192878644658489021494500819466317586441937981822347486163565795152808072012368235080216554272512192800729666417669829763531411213108494418913118518602993302492226514346776633151914463050060224509695982703686755416142840706010623006936874524452187722869551681108749361294810695099504076646550576016809634068421557376832617580999236289371413151899566524614973575753248715742472176747459972608155732634727630330527033718278452846765174770728172912921167441008174546335351766020470707921356776862494695433732667044761786181261729619777198918422157071750747357444434612359278543575242617905368425489288524399123583290845306893000730480723867599367964989977241039149647013546967023147867695604450552374936008874557855435456223434642380936719467687026632615769316496835506366896848050379321482973448206502401722698140500374496142639625192381119796460488752404250147189479846363428957348179528030884277109256778540767915891043086029025915629061548978311433769206291930634863662192108026152395440631585079728836245987908191549472234398723916120832401441793104897541209034633661071095358336193091746252749026143573 1368 6548

real	0m0.183s
user	0m0.164s
sys	0m0.012s
#:~/hh$ 

Задача 5:

Найдите 10 последних цифр в конечной сумме ряда, 1^1+2^2+3^3+...+1145^1145

Полный принтскрин задания

Думаем:

Число 1145 в 1145 степени действительно большое. В задании просят только последнии 10 цифр, значит воспользуемся преимуществами модульной арифметики — сразу будем считать все по модулю.

Решаем:

Для вычисления степени по модулю воспользуемся пакетом http://userpages.umbc.edu/~rcampbel/Computers/Python/numbthy.html ^[5]
Качаем http://userpages.umbc.edu/~rcampbel/Computers/Python/lib/numbthy.py ^[6] и кладем в папку с программой:

import numbthy as np
t=0
for i in range(1,1146):
	t=t+np.powmod(i,i,1000000000000000000000)
print t % 10000000000

#:~/hh$ time python 5.py
7110603381

real	0m0.029s
user	0m0.020s
sys	0m0.004s
#:~/hh$ 

Говорят, что правильно решены 2 задачи из 5. Одну ошибку знаю, а где другие?

Автор: Talismanium