- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Привет.
Наверняка всем доводилось быть свидетелями оценки на глазок степени сходства ребенка с родителями: что-нибудь типа «вылитый папа, но на маму тоже похож!!!»
(взято отсюда [1])
Как в примере на изображении, можно оценить степень похожести в процентах. Можно задействовать еще родственников, для более точного описания лица малыша в виде взвешенной суммы лиц родни…
И будет это выглядеть и восприниматься вполне естественно для «обычного» человека, не связанного с антропологией, или, например, криминалистикой. Для профессионала в области анализа и распознавания лиц, человеческое лицо представляется, скорее, набором параметров. То есть, точкой (набор координат) в некотором пространстве с базисом (оси, соответствующие параметрам). И если описывать лицо ребенка в сравнении с его родственниками, то скорее всего, точка, соответствующая лицу ребенка окажется в этом пространстве параметров внутри выпуклой оболочки облака точек, соответствующих лицам ближайших родственников (но это не точно).
Собственное, к чему я это все… Эти два подхода к описанию лиц соответствуют двум системам координат:
Пусть в -мерном пространстве заданы точка с радиус-векторами , . Причем, ни одна из точек не лежит в линейной оболочке радиус-векторов остальных точек… Проще говоря, совсем просто: пусть эти точки образуют фигуру, которую нельзя полноценно представить в пространстве с размерностью меньше .
В случае одномерного пространства (линия), нам необходимы 2 не совпадающие точки, случае двумерного пространства — невырожденный треугольник, в случае трехмерного — тетраэдр.
Тогда любая точка пространства может быть представлена радиус-вектором :
Набор и есть барицентрические координаты.
Пожалуй, начнем с относительных недостатков:
Отчасти первый недостаток компенсируется тем, что не смотря на необходимость использования барицентрической координаты при описании точки в -мерном пространстве, количество степеней не повышается. Барицентрические координаты, определенные в формуле (1), связаны соотношением:
Что касается второго недостатка, если есть необходимость вычисления расстояния между точками, представленными барицентрически, то имеет смысл посчитать скалярные произведения и использовать аналог расстояния Махаланобиса.
Каковы же бонусы от использования барицентрических координат?
Не сложнее, чем любое линейное преобразование системы координат. Потому что по сути вычисление барицентрических координат таковым преобразованием и является.
Перепишем радиус-вектора точек в следующем виде:
, где — радус-вектора в системе координат с центром в точке .
Тогда формулу (1) можно переписать в следующем виде:
Раскроем скобки в сумме:
Согласно свойства (2):
Соответственно:
,
где
Учитывая (2), ограничимся вычислением первых n барицентрических координат. Представим переход в барицентрические координаты как линейное преобразование:
,
где — вектор n барицентрических координат (кроме последней), — матрица преобразования.
Учитывая свойства барицентрического представления, если в качестве подставить один из векторов (), то мы получим вектор с нулевыми компонентами, кроме одной i-й, которая будет равна 1.
Если матрицу умножить на матрицу , составленную по столбцам из , то мы должны получить единичную матрицу (матрицу с единицами на главной диагонали и нулями в остальных элементах):
,
где , — единичная матрица ( — символ Кронекера: 1, если , иначе — 0).
Из (10) находим :
Таким образом, имея набор из точек с радиус-векторами , мы можем вычислить матрицу для преобразования в барицентрические координаты:
Используя эту матрицу, мы можем получить первые барицентрических координат точки с радиус-вектором :
Вновь воспользовавшись соотношением (2), получим последнюю барицентрическую координату:
Может с первого взгляда барицентрика и кажется неуклюжей и сложной. Но на самом деле, это очень удобный и незаменимый во многих задачах инструмент, к которому довольно быстро привыкаешь. Потому, что тут нет никакой магии, это линейная алгебра в чистом виде!
Автор: JamaGava
Источник [2]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/python/333202
Ссылки в тексте:
[1] взято отсюда: http://i-lan.spb.ru/na-kogo-pohozh-po-foto-rebenok.html
[2] Источник: https://habr.com/ru/post/471194/?utm_campaign=471194&utm_source=habrahabr&utm_medium=rss
Нажмите здесь для печати.