0,000000001% × ∞ = 100%. Вы осознаёте что любое событие неизбежно?

В 1896 году математик Эрнст Цермело пришёл к Людвигу Больцману с доказательством. Он взял теорему Пуанкаре о возвращении и показал: если любая система рано или поздно возвращается в исходное состояние — значит энтропия вселенной тоже периодически убывает. Что противоречит второму началу термодинамики. Что ломает всю статистическую физику Больцмана.

Больцман не стал отрицать математику. Он согласился: да, убывает. Просто ждать нужно так долго что это число не помещается ни в одну запись. Но — не теоретически невозможно.

Цермело счёл это уклончивым ответом. Больцман знал что это единственно честный.

Потому что математика здесь беспощадна. Если вероятность события не равна нулю — при бесконечном времени оно не просто «может» произойти. Оно обязано произойти.

Оглавление

1. Математика, которой нас не учили

2. Теорема Пуанкаре: вселенная обязана повториться

3. Мозг ^[1] Больцмана: сознание из пустоты

4. Прямо сейчас существует ваша точная копия

5. После конца вселенной — что дальше

6. Что это значит для нас

1. Математика, которой нас не учили

Вы бросаете монету. Вероятность орла — 50%. Сколько раз нужно бросить чтобы гарантированно выпал орёл хотя бы один раз?

Строго говоря — никакое конечное число не даёт стопроцентной гарантии. Но вероятность того что орёл не выпадет ни разу за N бросков:

P(ни одного орла за N бросков) = (0,5)^N

При N = 10: вероятность «ни одного орла» = 0,1%. При N = 100: вероятность «ни одного орла» = 0,0000000000000000000000000001%.

Она стремится к нулю. Никогда его не достигает.

Теперь возьмём событие с вероятностью 0,000000001% — одна попытка из ста миллиардов. Кажется: невозможно. Но:

P(событие не произойдёт за N попыток) = (1 − 0,000000001/100)^N

При N = 100 миллиардов это число уже меньше 37%. При N → ∞ оно стремится к нулю.

Вероятность того что событие не произойдёт никогда при бесконечном числе попыток равна нулю.

Перевёрнутая формулировка: вероятность того что событие произойдёт хотя бы один раз при бесконечном числе попыток равна 100%.

Математика девятого класса. Мне понадобилось несколько дней чтобы принять что эта формула говорит буквально то что говорит — без оговорок. Её следствия пугают.

2. Теорема Пуанкаре: вселенная обязана повториться

В 1890 году Анри Пуанкаре доказал теорему о возвращении.

Формулировка: любая замкнутая физическая система с конечным объёмом фазового пространства через достаточно большое время вернётся в состояние сколь угодно близкое к исходному.

Если у системы конечное число возможных состояний — она рано или поздно повторится. Не «может повториться». Обязана.

Фазовое пространство — математический объект где каждая точка описывает полное состояние системы: положение и скорость каждой частицы. Для газа из N молекул в ящике фазовое пространство имеет 6N измерений. Теорема говорит: траектория системы в этом пространстве бесконечно возвращается в окрестность любой точки через которую прошла.

Для вселенной — если она замкнута — время возвращения порядка:

T_Пуанкаре ~ 10^(10^120) лет

Возраст вселенной — 13,8 миллиарда лет, примерно 10^10. Время Пуанкаре — это 10^120 в показателе степени над этим числом. Число без названия. Конечное.

Именно это открытие довело Больцмана до края. Цермело использовал его как оружие: если вселенная повторяется — значит энтропия тоже периодически убывает, что ломает второе начало термодинамики. Больцман ответил: да, убывает. Просто ждать нужно настолько долго что это практически невозможно. Но — не теоретически.

Больцман оказался прав. Это его не спасло.

3. Мозг Больцмана: сознание из пустоты

Подождите. Прежде чем читать дальше — ответьте себе: что доказывает что прямо сейчас вы — настоящий человек, а не случайная флуктуация материи с ложными воспоминаниями?

Ответили?

Если вселенная существует бесконечно долго и любое состояние повторяется — то рано или поздно квантовая флуктуация соберёт из случайных атомов работающий мозг ^[1]. С воспоминаниями, ощущениями, мыслями. Мозг ^[1] который думает что он — вы.

Вероятность такой флуктуации:

P(Мозг Больцмана) ~ e^(−S),  где S ~ 10^(10^26)

Невообразимо мала. При бесконечном времени — неизбежна.

Мозг ^[1] Больцмана откроет глаза в абсолютной темноте мёртвой вселенной. У него будут воспоминания о жизни — о детстве, работе, людях которых он любил. Эти воспоминания ненастоящие — они случайно сложились из флуктуации. Но он не будет об этом знать.

Откуда вы знаете что вы не Мозг ^[1] Больцмана прямо сейчас?

Строго говоря — не знаете. Это не шутка. Это одна из серьёзных открытых проблем современной космологии: если Мозги ^[1] Больцмана неизбежны при бесконечном времени — их должно быть бесконечно больше чем обычных наблюдателей. Значит любой наблюдатель с большей вероятностью является Мозгом ^[1] Больцмана чем реальным человеком.

Это называется «проблема Больцмана». До сих пор не решена. Я не знаю как её решить — и кажется никто не знает.

4. Прямо сейчас существует ваша точная копия

Инфляционная космология предполагает что наблюдаемая вселенная — крошечный пузырь в бесконечном пространстве. Наблюдаемая часть — сфера радиусом 46 миллиардов световых лет. За горизонтом — ещё пространство. Потенциально бесконечное.

Если пространство бесконечно и вещество в нём распределено примерно однородно — то на достаточно большом расстоянии должен находиться регион в котором атомы расположены точно так же как в нашей вселенной. Вплоть до положения каждой частицы.

Расчёт Макса Тегмарка даёт расстояние до такого двойника:

D ~ 10^(10^29) метров

За этим расстоянием — точная копия нашей вселенной. С точной копией Земли. С точной копией вас. Читающей точно такую же статью.

Вас бесконечно много.

Это не метафора параллельных вселенных из фантастики. Это статистическое следствие бесконечного пространства и конечного числа возможных конфигураций частиц в заданном объёме. Ни кротовых нор, ни квантовых ветвлений — просто пространство достаточно большое чтобы перебрать все комбинации.

Я не уверен что должен чувствовать от этого факта. Спокойствие? Головокружение? Пока только второе.

5. После конца вселенной — что дальше

Самый вероятный сценарий конца — тепловая смерть.

Второе начало термодинамики: энтропия замкнутой системы не убывает. Вселенная расширяется, энергия рассеивается, звёзды гаснут. Через примерно 10^100 лет последние чёрные дыры испарятся через излучение Хокинга. Останется равномерный газ из фотонов и лептонов — максимальная энтропия, конец всех структур.

Конец звёзд, планет, молекул.

Но не конец флуктуаций.

Квантовые флуктуации вакуума не прекращаются. Принцип неопределённости запрещает абсолютный покой:

ΔE · Δt ≥ ℏ/2

Энергия никогда не равна нулю точно. Вакуум кипит виртуальными частицами которые рождаются и аннигилируют. В мёртвой вселенной эти флуктуации продолжатся.

Через время Пуанкаре — 10^(10^120) лет — флуктуация достигнет нужного масштаба. Вся энергия случайно сосредоточится в одной точке. Произойдёт новый Большой взрыв. Или флуктуация соберёт Мозг ^[1] Больцмана. Или звезду. Или галактику.

Тепловая смерть — не финал. Это долгая пауза между актами одного и того же спектакля.

6. Что это значит для нас

Больцман покончил с собой в 1906 году. Его идеи не принимали. Атомы которые он защищал всю жизнь считались удобной фикцией. Через три года после его смерти Перрен подтвердил их экспериментально — броуновское движение, числа сошлись точно. Больцман оказался прав во всём.

В том числе в теореме о возвращении.

Если пространство бесконечно — каждое решение которое вы принимаете уже принято всеми способами где-то в другом месте. Если время бесконечно — вы уже были здесь. И будете снова.

Можно впасть в нигилизм: зачем что-то делать если всё равно всё повторится?

Вот мой ответ — и я готов что со мной поспорят. Нигилизм здесь логически неверен. Если этот момент повторится бесконечное число раз — он не обесценивается. Он становится одной из несущих конструкций вселенной. Таких же обязательных как теорема Пуанкаре. Вопрос не «зачем» — вопрос в том что ты делаешь с тем что неизбежно войдёт в повторяющуюся структуру.

0,000000001% × ∞ = 100%.

Включая вас. Включая этот момент.

Теорема Пуанкаре доказана в 1890 году. Следствия из неё до сих пор не дают спать космологам.

Вот мой вопрос напоследок — не про вселенную, про вас: если вы знаете что эта версия вас — повторится бесконечное число раз, вы бы прожили эту жизнь иначе?

Жду вас в своем канале

@java_quant ^[2] | @KarimAbushaev ^[3]