Классическая механика: метод Рауса и задача о кольцах на вращающемся стержне

В этой статье мы применим метод приведённого потенциала к одной системе, которая, несмотря на всю свою простоту, демонстрирует необычные движения и обладает неожиданным законом сохранения.

Описание системы. Длинный гладкий стержень может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину . Угол между стержнем и осью — прямой.

Момент инерции стержня относительно этой оси равен . По обе стороны от точки на стержень надеты два маленьких кольца массы каждое. Кольца соединены с точкой посредством одинаковых невесомых пружин жесткостью каждая. Будем считать, что в недеформированном состоянии длина каждой пружины равна нулю.

Анализ. Это система с тремя степенями свободы: угол поворота стержня обозначим через , а через и — расстояния от колец до точки .

Лагранжиан системы имеет вид:

Удобно сделать следующую замену переменных :

Тогда:

Для анализа задачи воспользуемся методом Рауса. Заметим, что координаты и являются циклическими (лагранжиан явно от них не зависит), поэтому соответствующие им сопряженные импульсы

являются первыми интегралами, т.е. сохраняют свои значения в процессе движения.

С всё ясно — это проекция момента импульса системы на ось вращения. А вот существование интеграла непосредственно из общих теорем курса физики не вытекает.

Функция Рауса строится по правилу:

где

Подставляя выражения для скоростей через импульсы и упрощая, получаем итоговый вид:

В учебниках по теоретической механике доказывается теорема, согласно которой уравнение движения для принимает вид уравнения Лагранжа с лагранжианом :

Таким образом, задачу можно свести к анализу абстрактной системы с одной степенью свободы: точка массой движется по лучу в потенциальном поле с потенциалом

Здесь константы и выступают в роли параметров. Функция называется приведенным (эффективным) потенциалом.

В случае общего положения, когда обе константы и отличны от нуля, график функции имеет вид:

Минимум потенциала находится стандартным способом из уравнения . Мы не будем искать его; важно лишь то, что он существует и единственен.

Этому минимуму в абстрактной системе отвечает устойчивое положение равновесия. Можно даже период малых колебаний посчитать.

В исходной системе данному положению равновесия соответствует движение, при котором стержень совершает равномерное вращение с угловой скоростью

а кольца движутся по стержню так, что их координаты описывают в плоскости окружность радиуса c центром в нуле. При этом точка движется по этой окружности с постоянной угловой частотой