Физика, задача 1.5.9 из Савченко: что с ней не так?

Вот эта задача:

В этой статье обсуждается не методика преподавания данной задачи в средней школе, а методика исследования задачи механики как таковая.

В частности, мы собираемся обосновать следующий тезис: предположение, подчёркнутое красным, избыточно — задача прекрасно решается и без него.

Отметим также (см. конец статьи), что исследование закона движения катушки может оказаться интересной задачей теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Перейдем к изучению системы.

Обозначим через центр катушки, через — конец нити, через — точку контакта катушки с плоскостью, а через — точку отрыва нити от катушки.

Начало подвижной системы координат совпадает с центром катушки, ось направлена вдоль свободного конца нити, а ось проходит через точку . Ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка — на зрителя.

Скорость точки задана:

Через обозначим угловую скорость катушки: .

Эта угловая скорость слагается из угловой скорости системы

и угловой скорости катушки относительно системы

Индексами и мы, как обычно, помечаем относительные и переносные скорости соответственно.

Отметим следующие равенства:

где единичный вектор

направлен горизонтально вправо;

Здесь — координата точки по оси .

Скорость точки относительно системы вычисляется по формуле

Имеем:

где

Итого:

Сравнивая последнее равенство с равенством (1), получаем систему:

Эту систему следует дополнить уравнениями, которые уже отмечались ранее:

Выражая из (3) и подставляя во второе уравнение системы (4), мы получаем ответ задачи:

Однако можно продвинуться и дальше. Исключим и из системы (2),(3),(4):

При

полученная система дифференциальных уравнений представима в нормальной форме Коши и, следовательно (по крайней мере при малых ), имеет решение, и притом единственное, при заданных начальных условиях:

Исследование данной системы ОДУ может оказаться интересной задачей.