Задача о жуке на глобусе

Эта задача представляет собой несколько более продвинутую модификацию задач, встречающихся на студенческих олимпиадах по механике. Там обычно вместо шара в кардановом подвесе рассматривается диск на стержне. Интересно также, что основные проблемы в этой задаче начинаются не на уровне динамики, а на уровне кинематики.

Однородный шар радиуса закреплен в кардановом подвесе так, что он может свободно вращаться вокруг своего неподвижного центра . Момент инерции шара относительно любой оси, проходящей через точку , равен .

На шаре сидит жук массы . В начальный момент времени система покоится, затем жук начинает ползти по шару так, что его траектория вычерчивает на шаре окружность радиуса . Придя в исходную точку, жук останавливается.

На какой угол повернулся шар к моменту остановки жука, если сила тяжести отсутствует?

Специалисты по теоретической механике, коих немало на Хабре, наверняка найдут короткое и прямое решение этой задачи, приводящее к явному и красивому ответу. Мы же ограничимся лишь следующими тремя наблюдениями.

Во-первых, мы покажем, что шар останавливается в тот самый момент, когда останавливается жук. Во-вторых, докажем, что ответ задачи совершенно не зависит от конкретного закона движения жука по окружности. Наконец, мы выпишем систему дифференциальных уравнений, из которой численно находится матрица поворота шара, которая, собственно, и определяет и угол, и ось его поворота.

Обозначим через время от начала движения жука до его остановки.

Свяжем с шаром декартову систему координат так, чтобы жук двигался в плоскости . Тогда радиус-вектор жука выражается формулой

Функция по условию монотонно возрастает на отрезке и такова, что

Кинетический момент системы относительно точки , очевидно, сохраняется:

Здесь — угловая скорость шара относительно лабораторной системы координат, а – скорость жука.

Поскольку радиус-вектор жука естественным образом задан в системе, связанной с шаром, удобно расписать абсолютную скорость жука по теореме о сложении скоростей:

где

— переносная скорость жука, а

— его относительная скорость.

Подставляя эти формулы в уравнение (1) и решая получившееся линейное алгебраическое уравнение относительно вектора , находим:

где

Формула (2) отражает важный факт: в тот момент, когда жук останавливается на шаре, шар тоже прекращает вращение.

Другой важный факт, следующий из формул (2) и (3), заключается в следующем: вектор угловой скорости шара, заданный в связанной с шаром системе координат, представляется в виде

где

И тут начинается самое интересное. Введем лабораторную систему координат так, чтобы при она совпадала с системой .

Через обозначим матрицу размера , которая является решением следующей задачи Коши для матричного дифференциального уравнения:

где

а — компоненты вектора (см. формулу (4)) в системе .

Смысл оператора следующий. Предположим, вектор жестко связан с шаром. Его координаты относительно системы не меняются, а относительно системы изменяются, поскольку этот вектор поворачивается вместе с шаром. То есть наблюдатель, находящийся в системе , видит зависимость координат вектора от времени: .

В учебниках по теоретической механике доказывается, что

Таким образом, — это матрица поворота шара. В этой матрице и содержится ответ на вопрос задачи.

Сделаем замену переменной в (5):

Решением этой системы является матрица ; соответственно, искомая матрица поворота шара — это.

Важный вывод из этого наблюдения состоит в том, что матрица поворота шара совершенно не зависит от конкретного закона движения жука .

Маловероятно, что систему (6) можно проинтегрировать в замкнутой форме. Этот вопрос требует отдельного исследования. Однако матрицу поворота шара всегда можно найти численно, решив задачу (6) на интервале .