Альтернативный способ задать дифференциал в геометрической алгебре

Привет!

В геометрической алгебре достаточно абстрактно введен дифференциал, здесь предлагается наглядный численный метод — выразить дифференциал через ориентированный объём и геометрическое произведение.

Это даёт возможность интерполировать значения функции вне сетки и отдельно учитывать параллельную и ортогональную составляющие приращения.

Написана статья с целью собрать мнения специалистов о достоинствах и недостатках такого подхода. В общем буду рад комментариям.

1. Обозначения

• Δ — конечные приращения на сетке (шаги Δx,Δy,Δz и разности функции fΔx​f,Δy​f,Δz​f).

• δ — изменяемые приращения для произвольной точки в окрестности узла.

• σ1​,σ2​,σ3​ — орты осей в матричном представлении (матрицы Паули):

  

• Умножение с точкой ⋅ — матричное (геометрическое).
  Умножение с крестиком × — векторное.

• I=σ1​⋅σ2⋅​σ3​ — псевдоскаляр (аналог мнимой единицы в ГА).

Вектор в таком базисе записывается как

Обратите внимание: σ3​ соответствует оси — x, σ2​ — y, σ1​ — z. Так сделано по мотивам моей предыдущей статьи Давайте объединим линейную и геометрическую алгебры. На простом примере. Часть 1 ^[1]. В разделе "6. Базис Клиффорда для матриц 2х2" можно видеть, что расположение осей несколько иное, чем в декартовых координатах. Так же такое расположение еще делает привычнее некоторые представления, напишу как нибудь.

2. Ориентированный объём и вектор конечных разностей

Ориентированный объём, образованный площадями граней ячейки и смещениями δx,δy,δz:

Разделив на объём ячейки Δv=ΔxΔyΔz, получим относительный ориентированный объём:

Вектор конечных разностей (Аналог градиента, но без нормировки на шаги. Знак умножения буду пропускать, так как уже объяснил его смысл, и вообще геометрическое произведение пишется без знака):

3. Скалярное и обобщённое приращения

Скалярное приращение (классический дифференциал, аппроксимированный конечными разностями) — это скалярная часть геометрического произведения δV′ и Δ(f):

При

это выражение стремится к обычному дифференциалу df.

Полное геометрическое произведение даёт обобщённый дифференциал — сумму скалярной и бивекторной частей:

Бивекторная часть δf⊥​ равна нулю тогда и только тогда, когда вектор относительного объёма δV′ параллелен вектору конечных разностей Δ(f) — то есть когда смещение (δx,δy,δz) коллинеарно градиенту. Когда бивекторная часть не равна нулю происходит следующее:

1. Бивекторная часть кодирует нормаль к плоскости перемноженных векторов. Плоскость в которой расположены компоненты диффенциала. Так же она кодирует объект в этой плоскости, ортогональный вектору на который происходит проецирование.

2. Скалярная часть ортогональна бивекторной части и нормали к плоскости.

3. Вместе они образуют аналог комплексного числа в этой плоскости.

4. Зачем это нужно

• Интерполяция вне сетки. Зная в узле сетки значения Δx​f,Δy​f,Δz​f (например, из численного решения), можно вычислить приращение δgf​для любого смещения (δx,δy,δz) в окрестности узла. Никакой дополнительной сетки не требуется.

• Разделение параллельной и ортогональной составляющих. Скалярная часть δf∥​ — классическое изменение вдоль направления смещения. Бивекторная часть δf⊥​ — мера того, насколько смещение отклоняется от градиента.

• Выделение траекторий, где обобщённый дифференциал совпадает с классическим. Если потребовать δf⊥​=0, получим условия коллинеарности, которые задают прямые, параллельные Δ(f). Вдоль таких траекторий δg​f=δf∥​.

5. Пример применения

Пусть в узле сетки (0,0,0)(0,0,0) известны:

Это соответствует частным производным: 2,3,4.

Требуется найти значение функции в точке (δx,δy,δz)=(0.02,0.03,0.04) — внутри ячейки.

Вычисляем скалярное приращение:

Вычисляем бивекторную часть (коэффициенты при σ3​,σ2​,σ1​):

Здесь смещение оказалось точно параллельным вектору конечных разностей, поэтому бивекторная часть обнулилась. Обобщённый дифференциал совпал с классическим: δgf=0.29

Если взять смещение (δx,δy,δz)=(0.03,0.02,0.04), то:

Скалярное приращение:

Бивекторные коэффициенты:

Бивекторная часть не равна нулю — смещение не параллельно градиенту. Полное приращение δg​f будет содержать как скалярную, так и бивекторную компоненту, что позволяет оценить степень «неградиентности» направления.

6. Итог

• Предложен способ выразить обобщённый дифференциал через конечные разности и геометрическое произведение.

• Формулы работают непосредственно с сеточными данными и позволяют интерполировать значения функции в произвольную точку.

• Бивекторная часть даёт дополнительную информацию — меру отклонения направления смещения от градиента.

• Для вычислений достаточно скалярных арифметических операций, матрицы не требуются (если не считать исходного определения σ).

Такой подход может быть полезен в численных методах, особенно при адаптивных сетках и когда нужно оценивать изменение функции вдоль произвольных направлений без перестроения аппроксимации.

Пишите ваши комментарии!