COVID-19: прогнозируем число больных коронавирусом

Коронавирус окончательно захватил весь мир — и выражается это не в том, что им успел переболеть каждый житель планеты. На данный момент эта тема является главной и единственной — как в мировых, так и в российских новостях. В этой статье мы постараемся максимально абстрагироваться от политики и рассуждений о том, запустили ли вирус китайские военные, или же Дональд Трамп. Вместо этого мы посмотрим на проблему с математической точки зрения — а именно, выясним, как можно описать эпидемию одним уравнением, а в конце статьи предскажем итоговое число зараженных COVID-19 — в том числе в России.

Теория: уравнение эпидемии

Еще чуть меньше века назад, в 1927 году, два ученых парня Кермак и МакКендрик в своей статье ^[1] донесли до мира идею о том, что распространение эпидемии можно описать математически. В самом простом случае, когда популяция из N человек заражается каким-то вирусом, и в самой популяции люди могут либо быть здоровыми (S), либо болеть без возможности выздоровления (I), уравнение доли зараженного населения в момент t будет выглядеть следующим образом:

где представляет собой изначальную долю зараженных от общего числа популяции, а отвечает за коэффициент распространения эпидемии — и именно благодаря этому параметру мы можем регулировать вероятность передачи вируса от человека к человеку и приближать/отдалять момент того, когда вся популяция заразится (ведь при ).

Знатокам может показаться, что ребята позаимствовали уравнение логистической кривой ^[2] у бельгийского математика Ферхюльста — однако, в данном случае это уравнение есть не что иное, как результат решения системы дифференциальных уравнений (не буду уходить в математические дебри, однако если кому интересно, то здесь ^[3] объясняется вся теория эпидемии, а тут ^[4] — как всегда великолепная визуализация от Гранта Сандерсона).

График функции являет собой нечто вроде вытянутой латинской буквы s (наверное поэтому ее еще иногда называют s-кривая):

А теперь, прежде чем перейти непосредственно к моделированию, небольшой спойлер того, что эта модель находит отражение в реальности, и конкретно в случае COVID-19: посмотрите на график выявленных случаев заражения в Mainland China, взятого из проекта университета Джона Хопкинса ^[5]:

Выводим свое уравнение для COVID-19

Модель, представленная выше, требует выполнения большого количества предпосылок, таких как постоянство популяции, возможность контакта каждого с каждым и т.д. К тому же, при введении дополнительной группы (R) внутри популяции, которая содержит выздоровевших/умерших (т.е. более не способных заразиться вирусом), модель все равно оказывается очень сильно завязанной на изначальное число зараженных.

В реальности же бессмысленно выводить модель исходя только из одного начального условия, т.к. в каждой стране (и даже местности) свои особенности распространения вируса — и итоговое число зараженных может быть совсем разным в двух регионах с . Одного коэффициента в помощь к тоже оказывается недостаточно — слишком уж много факторов воздействуют на распространение вируса и гнут/ломают логистическую кривую на свой лад.

В связи с этим, мы предлагаем модифицировать уравнение числа подтвержденных случаев заражения вирусом, максимально параметризовав его:

В данном случае мы также дополнительно вводим слагаемое в степень экспоненты — и, имея 5 параметров вместо 2, мы несомненно можем более тонко настроить кривую.

Подбор параметров

Благодаря тому, что в нашем распоряжении есть данные о выявленных случаях заражения за первые дней пандемии, а не только в самом начале, т.е. набор значений подтвержденных случаев , мы можем свести задачу поиска оптимальных параметров к задаче минимизации суммы квадратов отклонений:

Максимально упрощая задачу, мы определили конечный набор значений для каждого из параметров функции , и по факту провели оптимизацию гиперпараметров поиском по сетке для вышеозначенной функции потерь.

Прогнозы для стран

Хочется подчеркнуть, что прогнозируется именно число подтвержденных случаев вируса, а не число умерших и выздоровевших, потому что после заражения процесс болезни протекает очень индивидуально, и любой прогноз будет крайне неточным, если он основывается на общей статистике.

Данные для прогноза взяты с GitHub ^[6] проекта университета Джона Хопкинса. Прогнозное значение подтвержденных случаев вируса выдается в виде доли от популяции страны, домноженной на 10 000 (домножение нужно для того, чтобы числа не получались очень маленькими, иначе алгоритм просто будет предсказывать нули). По оси идет количество дней с момента регистрации первого случая заражения вирусом.

На графиках представлены подтвержденные случаи на данный момент (Real Current Confirmed), значения в эти же даты, но предсказанные моделью (Predicted Current Confirmed), и предсказанные значения на следующие 30 дней (Preficted Future Confirmed).

Китай

Впервые вирус был зафиксирован в городе Ухань, столице провинции Хубэй. Как выяснилось недавно, первый случай был зарегистрирован не в конце декабря 2019 года, как полагали до этого, а аж 17 ноября ^[7]. Сути это не меняет, и благодаря четким действиям китайского правительства в сфере обеспечения карантина, к концу февраля удалось остановить локальную пандемию. Однако сразу оговоримся, что данные для модели имеются только с 22 января, и к тому моменту было зарегистрировано уже 444 заболевших.

Данные о первом инфицированном: 22.01.2020

Италия

Родина Паоло Соррентино стала европейским рассадником вируса — и связано это не только с популярностью Италии среди китайских туристов (правда), но и с особой любовью итальянцев к мытью рук (шутка).

Данные о первом инфицированном: 31.01.2020

Германия

Канцлер Ангела Меркель привлекла внимание мировой общественности своим заявлением о том, что в конечном итоге коронавирусом переболеют 70 процентов ^[8] населения страны.

Данные о первом инфицированном: 27.01.2020

Однако, если верить прогнозу, то заболеванию подвергнутся чуть более чем 0.05%

Испания

Горячие мачо решили не отставать от своих «коллег по климату» (итальянцев, разумеется) — и пока что нет никаких оснований говорить о скором угасании темпов распространения вируса.
Однако испанцы не унывают и придумывают, пожалуй, самые увлекательные фейки вокруг коронавируса — так недавно проскочила новость о том, что в Валенсии был закрыт на карантин бордель ^[9] с 119 людьми, из которых 86 — клиенты, из-за того, что у одной из представительниц древнейшей профессии был выявлен коронавирус — видимо, она закашлялась, а среди клиентов нашелся врач.

Данные о первом инфицированном: 01.02.2020

Россия

Ситуация вокруг коронавируса в нашей стране до сих пор остается неясной с точки зрения того, а все ли случаи были зафиксированы — иначе как объяснить резкий рост случаев пневмонии ^[10], которую без дополнительных исследований невозможно отличить от коронавируса?

Но куда более интересным является то, как вирус распространяется по стране. На специальной страничке, созданной оперштабом Москвы, ведется список рейсов ^[11], которыми прибыли больные люди. То есть вирус в основной своей массе в страну поступил вместе с нашими соотечественниками, которые находились на отдыхе/по работе заграницей. Если сопоставить среднемесячную зарплату по стране и стоимость авиабилета в Европу, то получится, что вирус с собой принесли не самые бедные люди. И тут впору обратиться к теории графов, а именно к понятию ассортативности ^[12], которое обозначает наличие внутри социальной сети (общества) предпочтений в связях (общении) — проще говоря, в основном богатые люди общаются с богатыми, а бедные — с бедными. Итого получается, что для России, коронавирус — это болезнь состоятельных людей. Поэтому если ты, мой дорогой читатель, в данный момент находишься в подземном переходе метро у Казанского вокзала и прямо сейчас ботинком убиваешь пробегающую мимо крысу — то, возможно, ты входишь в самую безрисковую группу в нашей стране.

Однако, не стоит торопиться радоваться — потому что в теории ассортативности предпочтений есть один ньюанс. Представьте, что в школе есть две группы общающихся между собой девочек — красивых и страшненьких. Однако, все мы помним, что у самой красивой девушки есть страшненькая подружка — и вот мы получили, что через эту связь образуется соединение двух групп.

Ровно по такому же принципу, у богатой бизнес-леди, вернувшейся из Италии с вирусом, может быть мать-пенсионерка, которую она периодически навещает, а та, в свою очередь, ходит общаться во двор с другими пенсионерками — вот так происходит течение вируса между слоями населения.

Данные о первом инфицированном: 31.01.2020

Согласно прогнозам модели, России еще далеко до точки перегиба, т.е. того момента во времени, после которого прирост заболевших по сравнению с предыдущим днем будет становиться все меньше и меньше.

Итоги

Конечно же, представленная модель является очень базовой:

• не учитывается тот факт, что происходит изменение температурного фона с зимнего на весенний, и значит активность распространения вируса должна падать вслед за ростом температуры
• пренебрежение закрытием границ государств, установлением более жестких карантинных мер внутри самой страны, и, как следствие, падением интенсивности контактирования людей друг с другом
• модель можно улучшать до бесконечности: выбрать более сложный вид функции, добавить больше параметров; использовать вместо grid search для подбора параметров генетические алгоритмы; вместо простой оптимизации функции потерь использовать метод максимального правдободобия, EM-алгоритмы и т.д.

Однако, если вы заинтересовались данной темой, то советуем вам присоединиться к самому горячему COVID-19 Open Research Dataset Challenge (CORD-19) ^[13] и решать задачи: от определения факторов риска до создания вакцины!

Также с сегодняшнего дня мы запускаем нашего бота в Telegram ^[14] (@CoronavirusMonitorBot), в котором мы мониторим актуальную информацию вокруг ситуации с коронавирусом. Рекомендуем вам подписаться, чтобы быть в курсе того, как будет развиваться ситуация.

Главное, что хочется сказать — не нужно паниковать. В подобных ситуациях соблюдение элементарных правил гигиены и избегание мест скопления людей поможет избежать взрывного характера распространения вируса. А в остальном положитесь на математику :)

Автор: Pavel Sulimov

Источник ^[15]