Оо отношении соседних чисел Фибоначчи

В этой публикации ^[1] началось рассмотрение интересной задачки — отношения соседних чисел в обобщенном ряду Фибоначчи (в котором каждый следующий член оказывается равен сумме $inline$k$inline$ предыдущих.

К сожалению, задачка не была доведена до логического окончания, и брошена при неполном ответе для случаев 3 и 4.

Просто чтобы закрыть тему, рассмотрим ряд, образованный рекуррентным соотношением

$$display$$f_n= sum_{i=n-k-1}^{n-1}f_i$$display$$

Нас интересует предельное значение отношения $inline$frac{f_n}{f_{n-1}}$inline$, которое можно получить следующим образом:

$$display$$frac{f_n}{f_{n-1}}=frac{sum_{i=n-k-1}^{n-1}f_i}{f_{n-1}}=frac{f_{n-1}+sum_{i=n-k-1}^{n-2}f_i-f_{n-k-2}}{f_{n-1}}=frac{2cdot f_{n-1}-f_{n-k-2}}{f_{n-1}}=2-frac{f_{n-k-2}}{f_{n-1}}$$display$$

Обозначая отношение соседних членов ряда как $inline$x=frac{f_n}{f_{n-1}}$inline$, получаем:

$$display$$x=2-frac{1}{x^k}$$display$$

Нетрудно убедиться, что уравнение для $inline$k=2$inline$ имеет тот же корень, что и классическое уравнение $inline$x^2-x-1=0$inline$.

Практически очевидно, что для больших значений $inline$k$inline$ предельное значение отношения соседних членов равно 2, а в предельном случае $inline$k=1$inline$ оно просто равно 1 (каждый следующий член равен предыдущему).

Уравнение

$$display$$x=2-frac{1}{x^k}$$display$$

легко решается обычным методом итераций; вот несколько перввых его решений:

1 1.00000
2 1.61803
3 1.83929
4 1.92756
5 1.96595
6 1.98358
7 1.99196
8 1.99603
9 1.99803


Автор: ювелир

Источник ^[2]