Некоторые задачи школьной математики. Часть II

Часть I. Дроби ^[1]
Часть II. Модули ^[2]

В данной статье рассматривается метод оценок диапазона принимаемых значений и связь этого метода с задачами, содержащими модуль.

При решении некоторых задач необходимо рассматривать диапазон, в пределах которого может находиться искомая величина.

Рассмотрим метод оценок при решении неравенств.

Предположим, что цена за одну единицу товара может колебаться в пределах от 5 до 10 RUB. Дать оценку сверху означает определить максимальное значение, которое может принимать искомая величина. Для двух единиц товара, цена за который не превышает 10 оценка сверху составит 10+10=20.

Рассмотрим задачу из задачника профильной направленности М.И. Башмакова
37. Известны оценки для переменных и

Дайте оценки сверху для следующих выражений:
1.
2.

5.
6.

8.
9.

Ответы

1.
5.
9.

Вообще, анализ бесконечно малых величин использует критерий оценки. Понятие модуля как окрестности лежит в самом определении предела.

Рассмотрим пример из «Курса дифференциального и интегрального исчисления» 363(6)

Легко установить расходимость ряда

В самом деле, так как члены его убывают, то n-я частичная сумма

и растёт до бесконечности вместе с .

Для того, чтобы доказать, что действительно больше , нужно произвести оценку снизу данного выражения. Получим систему неравенств

Произведя сложение всех неравенств данной системы, получим

Что и требовалось

С гармоническим рядом ^[3] такой прием не проходит, потому что -я частичная сумма гармонического ряда

Вернёмся к задаче

38. Вычислить сумму ( «Задачи для детей от 5 до 15 лет»)

(с ошибкой не более 1% от ответа)

Оценка сверху суммы ряда даёт число 1.

Отбросим первое слагаемое

(define series_sum_1
 ( lambda (n)
  (if (= n 0) 0 
    (+ (/ 1.0 (* (+ n 1.0 )(+ n 2.0))) (series_sum_1(- n 1.0)))
  ) ) )
(writeln (series_sum_1 10))
(writeln (series_sum_1 100))
(writeln (series_sum_1 1000))
(writeln (series_sum_1 10000))
(writeln (series_sum_1 100000))
(writeln (series_sum_1 1000000))

Получим
0.41666666666666663
0.49019607843137253
0.4990019960079833
0.4999000199960005
0.49999000019998724
0.4999990000019941

Проверить можно в ideone.com здесь ^[4]

def series_sum(n):
	if n==0:
		return 0
	else:
		return 1.0/((n+1.0)*(n+2.0))+series_sum(n-1.0)
 
print(series_sum(10))
print(series_sum(100))

Отбросим два первых слагаемых

(define series_sum_1
 ( lambda (n)
  (if (= n 0) 0 
    (+ (/ 1.0 (* (+ n 2.0) (+ n 3.0))) (series_sum_1(- n 1.0)))
  ) ) )
(series_sum_1 1000000)

Получим 0.33333233333632745

Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд — сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечной (а ряд — расходящимся) в противном случае.

Подсчитаем сумму гармонического ряда при увеличении

#lang racket
(define series_sum_1
 ( lambda (n)
  (if (= n 0) 0 
    (+ (/ 1.0 n) (series_sum_1(- n 1.0)))
  ) ) )
(series_sum_1 10)
(series_sum_1 100)
(series_sum_1 1000)
(series_sum_1 10000)
(series_sum_1 100000)
(series_sum_1 1000000)

Получим:

2.9289682539682538
5.187377517639621
7.485470860550343
9.787606036044348
12.090146129863335
14.392726722864989

Если отбросить много (но не бесконечно много) начальных слагаемых, то сумма ряда также будет увеличиваться (и стремиться к ) при увеличении .
Частичные суммы нарастают безгранично — ряд расходится.

Решите задачу («Начала теории множеств»):

Бизнесмен заключил с чёртом сделку: каждый день он даёт чёрту одну монету, и в обмен получает любой набор монет по своему выбору, но все эти монеты меньшего достоинства (видов монет конечное число). Менять (или получать) деньги в другом месте бизнесмен не может. Когда монет больше не останется, бизнесмен проигрывает.

Докажите, что рано или поздно чёрт выиграет, каков бы ни был начальный набор монет у бизнесмена.

Вернёмся к модулям.
В интегральном исчислении модуль используется в формуле

На Хабре была статья Самый натуральный логарифм ^[6], в которой рассматривается этот интеграл и на основе его вычисление числа . Напишите, пожалуйста, в комментах как вообще работает эта программа и зачем нужен пустой дефайн вроде " #define o "

Присутствие модуля в формуле обосновывается далее в «Курсе дифференциального и интегрального исчисления»

Если… , то дифференцированием легко убедиться в том, что

Физическое приложение интеграла

Этот интеграл используется для вычисления разности потенциалов обкладок цилиндрического конденсатора.

«Электричество и магнетизм»:

Разность потенциалов между обкладками находим путем интегрирования:

( и — радиусы внутренней и внешней обкладок).

Здесь не используется знак модуля под знаком натурального логарифма , потому что и строго положительны и такая форма записи является избыточной.

«Модульное» рисование

С помощью модулей можно рисовать различные фигуры.

Если в программе geogebra ^[7] написать формулу получим

Можно рисовать более сложные фигуры. Нарисуем, например, «бабочку» в облаке WolframAlpha

ссылка ^[8] на рисунок

Книги:

«Задачник профильной направленности» М.И. Башмаков
«Начала теории множеств» Н.К. Верещагин, А. Шень
Курс общей физики: в 3-х т. Т. 2. «Электричество и магнетизм» И.В. Савельев

Автор: Дмитрий

Источник ^[9]