- PVSM.RU - https://www.pvsm.ru -
Общеизвестно, что большинство временных рядов, с которыми приходится иметь дело исследователю, являются нестационарными, и их анализ ощутимо сложнее, чем изучение стационарных процессов. Поскольку интерес к вейвлетам, похоже, пошел на убыль, полезно обсудить некоторые иные «нестационарные» инструменты, пригодные, в первую очередь, для оценки мгновенных частот, а также для оценки мгновенных спектров.
В первую очередь есть смысл вспомнить об «аналитическом сигнале». Ниже «An-моделью» именуются как раз нахождение мгновенных импеданса и мощности тестового сигнала после достройки его мнимой частью (сдвинутой по фазе на π/2).
Но не всегда есть возможность возиться с преобразованием Гилберта. Ранее уже упоминалось [1] об авторегрессионном способе спектрального оценивания, пригодном для работы с короткими последовательностями. Под «AR-моделью» здесь будет подразумеваться исследование коротких (из 5 сэмплов) перекрывающихся фрагментов исходного сигнала с целью определения коэффициентов авторегрессии 2-го порядка, нахождение по ним «полюсов» модели и т.д.
Оба изложенных здесь метода основаны на одном принципе — предположении, что в некоторой малой окрестности от выбранного момента времени исследуемый процесс может быть аппроксимирован «экспоненциальной» последовательностью — одной комплексной (An) или суммой двух комплексно-сопряженных экспонент (AR).
В качестве тестового процесса использована последовательность из 512 отсчетов с условным интервалом дискретизации Δt=0,01с, полученная из непрерывного детерминированного процесса (1).
«Логарифмированием» и последующим дифференцированием соответственно высокочастотного наполнения и огибающей из (1), получены теоретические выражения для (мгновенных) частоты и декремента (2)
Для An-моделирования периодограммным методом (прямым и обратным преобразованием Фурье) из исходной последовательности x[i] сформирован аналитический сигнал y[i].
Отношение двух последовательных отсчетов такого сигнала, в принципе, позволяют определить мгновенный импеданс λ, но для упрощения данной демонстрационной задачи — чтобы не возиться с созданием промежуточных отсчетов или объяснением сдвига оценки на Δt/2 — решено работать с отсчетами «через один», вычисляя λi по отношению последующего y[i+1] значения сигнала к предыдущему y[i-1] (3).
Для AR-моделирования (модель второго порядка) применена стандартная процедура вычисления автокорреляционных коэффициентов 1, a1i, a2i с помощью уравнений Юла-Уолкера, при этом в качестве исходного процесса принимались 5-сэмпловые последовательности x[i-2], x[i-1],… x[i+2] (4).
“Полюса“ модели λi затем легко вычисляются логарифмированием корней квадратного уравнения(5).
Построение спектральных оценок по известным «полюсам» с точностью до масштабного множителя не представляет сложности [1]. Далее. «Мгновенная мощность» для An-модели определяется очевидным образом, как |y[i]|2, и вопрос масштабирования этой оценки, по-видимому, исчерпан. Для AR-модели обычная техника, связанная с определением мощности условного белого шума, в случае нестационарного сигнала «не работает». За неимением лучших идей, применено масштабирование, исходя из среднего квадрата по соответствующим 5 отсчетам. Похоже, ничего большего, анализируя только 5-сэмпловую последовательность, сделать нельзя. На анимации видно, как AR-график СПМ иногда ощутимо «проваливается» относительно An-оценки. Надо понимать, моменты перехода «через ноль» для AR- модели могут представлять сложности не только в плане погрешностей с мгновенной частотой, но и с мгновенной амплитудой, особенно в области низких частот.
Несколько замечаний напоследок.
Автор: crowncork
Источник [2]
Сайт-источник PVSM.RU: https://www.pvsm.ru
Путь до страницы источника: https://www.pvsm.ru/matematika/319019
Ссылки в тексте:
[1] упоминалось: https://habr.com/ru/post/448078
[2] Источник: https://habr.com/ru/post/453722/?utm_campaign=453722
Нажмите здесь для печати.