Задача по механике. Решаем разными способами и обобщаем

Задача по механике.

Рассмотрим следующую интересную задачу по теоретической механике (из сборника Мещёрского, страница 231, задача 31.22), сформулированную своими словами.

Задача:Тело массы m находится на вершине гладкой полусферы радиуса R в поле тяжести Земли g. Ему сообщают некоторую начальную горизонтальную скорость v0. Требуется определить угол φ при котором тело оторвётся от поверхности сферы(угол отрыва).

Размерами и формой тела пренебречь.

Решение: сделаем рисунок, поясняющий условие данной задачи.

Предложу несколько решений данной задачи:

1. Школьное(эта задача уровня ЕГЭ по физике):Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленной к центру O полусферы:

, где

$a_ц=frac{v^2}{R}$

центростремительное ускорение,v- касательная скорость тела, N-сила реакции опоры(в момент отрыва N=0).Учитывая это и сократив на m, получим

$frac{v^2}{R}=gcosphi$

Теперь запишем закон сохранения энергии( ЗСЭ):

$frac{mv_0^2}{2} + mgR=frac{mv^2}{2} + mgh$

или

$frac{mv_0^2}{2} + mgR=frac{mv^2}{2} + mgR(1-cosphi)$

Подставив первое соотношение, получим:

${v_0^2} + 2gR=3gRcosphi$

откуда

$phi=arccosleft(frac{v_0^2+2gR}{3gR}right)$

. При

тело оторвётся сразу(то есть φ=0).

2. Не школьное: Пусть в этой задаче нельзя сразу записать закон сохранения энергии, тогда его необходимо вывести. Так как пройденный путь s=φR, то

$v=frac{ds}{dt}=Rfrac{dphi}{dt}$

или

$frac{dphi}{dt}=frac{v}{R}$

.Теперь запишем второй закон ньютона в проекции на касательную(тангенциальную ось:

$frac{dv}{dt}=gsinphi$

Поделив данное уравнение на первое уравнение и разделив переменные, получим

. Проинтегрировав, и подставив начальное условие, имеем:

$frac{mv_0^2}{2} + mgR=frac{mv^2}{2} + mgR(1-cosphi)$

. Дальнейшее решение описано.

3. Обобщение. Пусть в этой задаче не полусфера, а произвольная выпуклая вниз поверхность y(x)(то есть y”(x)<0).

Рисунок 2 Обобщение задачи на произвольную выпуклую вниз поверхность.

Выберем прямоугольную декартову систему координат X0Yтак, чтобы вершина находилась в точке (0,H), тогда y(0)=H, y’(0)=0(

Так как это точка максимума y(x)). Пусть тело оторвётся в точке (x,y), тогда N=0 и второй закон Ньютона в проекции на центростремительную ось запишется как

$frac{v^2}{R}=gcosphi$

Где R- радиус кривизны траектории в точке (x,y), φ угол между осью 0Y и aц.

Перепишем это равенство в виде

${v^2}=gh=g(y-yO’)$

, где h- расстояние между мгновенным центром вращения O’(xO’,yO’) и проекцией положения тела на ось , параллельную 0Y, h=y-yO’.

. С другой стороны, из закона сохранения энергии,

$frac{mv_0^2}{2} + mgH=frac{mv^2}{2} + mgy$

откуда

Решая задачу Коши(y(0)=H, y’(0)=0) для полученного дифференциального уравнения при помощи Wolfram Alpha, получим

$y=H-frac{gx^2}{2v_0^2}$

то есть координаты точки отрыва находятся как другая точка(кроме вершины) пересечения кривой y(x) и параболы

$y=H-frac{gx^2}{2v_0^2}$

. Если же такой точки нет или y(x) является этой параболой, то тело соскользнёт сразу же, на вершине. Задача решена.

4.1Другое обобщение: Добавим в исходную задачу с полусферой

силу трения скольжения, прямо пропорциональную силе реакции опоры N: Fтр=μN, где μ коэффициент трения. Сделаем рисунок:

Рисунок 3 Добавление силы трения скольжения

Запишем второй закон Ньютона в проекции на центростремительную и касательную оси соответственно:

$mfrac{dv}{dt}=-mgsinphi + mu N$

Выражая из первого уравнения N и подставив во второе, приходим к уравнению:

$2vfrac{dv}{dphi}=g(mucosphi - sinphi) - 2mu v^2$

. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно

.Решая его методом Бернулли(или с помощью Wolfram Alpha), а также учитывая начальные условия(v(0)=v0), получим:

$v^2(phi)=frac{2gR}{mu^2+1}((2mu^2+1)cosphi-musinphi)+(v_0^2-2gRfrac{1+2mu^2}{1+4mu^2})e^{-2muphi}$

В момент отрыва N=0, значит

Подставив в первое, получим уравнение:

$gRcosphi=frac{2gR}{mu^2+1}((2mu^2+1)cosphi-musinphi)+(v_0^2-2gRfrac{1+2mu^2}{1+4mu^2})e^{-2muphi}$

, решая которое относительно φ,

находим его(ограничение 0<φ<90º). Если у уравнения нет других решений кроме φ=0, то тело соскользнёт сразу же. Задача решена.

4.2 Замечание к этому обобщению. Самое интересное в этой задаче то, что даже если кроме силы трения мы добавим ещё и сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости