Задача по механике. Решаем разными способами и обобщаем

2026-03-22 в 6:03, admin, рубрики: движение, дифференциальные уравнения, математика, механика, сила, тело, теоретическая механика, уравнения, физика

Задача по механике.

Рассмотрим следующую интересную задачу по теоретической механике (из сборника Мещёрского, страница 231, задача 31.22), сформулированную своими словами.

Задача:Тело массы m находится на вершине гладкой полусферы радиуса R в поле тяжести Земли g. Ему сообщают некоторую начальную горизонтальную скорость v0. Требуется определить угол φ при котором тело оторвётся от поверхности сферы(угол отрыва).

Размерами и формой тела пренебречь.

Решение: сделаем рисунок, поясняющий условие данной задачи.

Предложу несколько решений данной задачи:

1. Школьное(эта задача уровня ЕГЭ по физике):Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленной к центру O полусферы:

, где

$a_ц=frac{v^2}{R}$

центростремительное ускорение,v- касательная скорость тела, N-сила реакции опоры(в момент отрыва N=0).Учитывая это и сократив на m, получим

$frac{v^2}{R}=gcosphi$

Теперь запишем закон сохранения энергии( ЗСЭ):

$frac{mv_0^2}{2} + mgR=frac{mv^2}{2} + mgh$

или

$frac{mv_0^2}{2} + mgR=frac{mv^2}{2} + mgR(1-cosphi)$

Подставив первое соотношение, получим:

${v_0^2} + 2gR=3gRcosphi$

откуда

$phi=arccosleft(frac{v_0^2+2gR}{3gR}right)$

. При

тело оторвётся сразу(то есть φ=0).

2. Не школьное: Пусть в этой задаче нельзя сразу записать закон сохранения энергии, тогда его необходимо вывести. Так как пройденный путь s=φR, то

$v=frac{ds}{dt}=Rfrac{dphi}{dt}$

или

$frac{dphi}{dt}=frac{v}{R}$

.Теперь запишем второй закон ньютона в проекции на касательную(тангенциальную ось:

$frac{dv}{dt}=gsinphi$

Поделив данное уравнение на первое уравнение и разделив переменные, получим

. Проинтегрировав, и подставив начальное условие, имеем:

$frac{mv_0^2}{2} + mgR=frac{mv^2}{2} + mgR(1-cosphi)$

. Дальнейшее решение описано.

3. Обобщение. Пусть в этой задаче не полусфера, а произвольная выпуклая вниз поверхность y(x)(то есть y”(x)<0).

Рисунок 2 Обобщение задачи на произвольную выпуклую вниз поверхность.

Выберем прямоугольную декартову систему координат X0Yтак, чтобы вершина находилась в точке (0,H), тогда y(0)=H, y’(0)=0(

Так как это точка максимума y(x)). Пусть тело оторвётся в точке (x,y), тогда N=0 и второй закон Ньютона в проекции на центростремительную ось запишется как

$frac{v^2}{R}=gcosphi$

Где R- радиус кривизны траектории в точке (x,y), φ угол между осью 0Y и aц.

Перепишем это равенство в виде

${v^2}=gh=g(y-yO’)$

, где h- расстояние между мгновенным центром вращения O’(xO’,yO’) и проекцией положения тела на ось , параллельную 0Y, h=y-yO’.

. С другой стороны, из закона сохранения энергии,

$frac{mv_0^2}{2} + mgH=frac{mv^2}{2} + mgy$

откуда

Решая задачу Коши(y(0)=H, y’(0)=0) для полученного дифференциального уравнения при помощи Wolfram Alpha, получим

$y=H-frac{gx^2}{2v_0^2}$

то есть координаты точки отрыва находятся как другая точка(кроме вершины) пересечения кривой y(x) и параболы

$y=H-frac{gx^2}{2v_0^2}$

. Если же такой точки нет или y(x) является этой параболой, то тело соскользнёт сразу же, на вершине. Задача решена.

4.1Другое обобщение: Добавим в исходную задачу с полусферой

силу трения скольжения, прямо пропорциональную силе реакции опоры N: Fтр=μN, где μ коэффициент трения. Сделаем рисунок:

Рисунок 3 Добавление силы трения скольжения

Запишем второй закон Ньютона в проекции на центростремительную и касательную оси соответственно:

$mfrac{dv}{dt}=-mgsinphi + mu N$

Выражая из первого уравнения N и подставив во второе, приходим к уравнению:

$2vfrac{dv}{dphi}=g(mucosphi - sinphi) - 2mu v^2$

. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно

.Решая его методом Бернулли(или с помощью Wolfram Alpha), а также учитывая начальные условия(v(0)=v0), получим:

$v^2(phi)=frac{2gR}{mu^2+1}((2mu^2+1)cosphi-musinphi)+(v_0^2-2gRfrac{1+2mu^2}{1+4mu^2})e^{-2muphi}$

В момент отрыва N=0, значит

Подставив в первое, получим уравнение:

$gRcosphi=frac{2gR}{mu^2+1}((2mu^2+1)cosphi-musinphi)+(v_0^2-2gRfrac{1+2mu^2}{1+4mu^2})e^{-2muphi}$

, решая которое относительно φ,

находим его(ограничение 0<φ<90º). Если у уравнения нет других решений кроме φ=0, то тело соскользнёт сразу же. Задача решена.

4.2 Замечание к этому обобщению. Самое интересное в этой задаче то, что даже если кроме силы трения мы добавим ещё и сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости