Как превратить топологию в 3D‑графики. Рисуем расслоение Зейферта

В этой статье мы сделаем компьютерную визуализацию одного из важнейших понятий в топологии‑ расслоения Зейферта.

Расслоение Зейферта — термин из математики, который означает тип обобщённого расслоения трёхмерных многообразий на окружности. Источник [1] ^[1]

Оно строится следующим образом:

Пусть v и n‑ взаимно простые целые числа, 0≤v<n. Отображение g‑ поворот диска D2

на угол 2πv/n. В произведении D2×[0,1] склеим каждую точку (x,0)с точкой (g(x),1)

Получим S1-расслоение полнотория. Каждый слой в расслоении Зейферта имеет окрестность с таким расслоением. Если v>0, центральный слой называется особым.

Источник [1] ^[1]

Напишем код на языке программирования Python (помогала нейросеть), чтобы получить иллюстрацию:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# Параметры
R_base = 1.0                # радиус базы (круг)
n_fibers = 60               # число волокон
n_points_per_fiber = 40    # точек на одно волокно (окружность)
p_special = 3               # «кратность» особого слоя (для закрутки)
theta_special = np.pi       # угол, где особый слой

fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Рисуем базу (круг в плоскости xy)
t_base = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
x_base = R_base * np.cos(t_base)
y_base = R_base * np.sin(t_base)
z_base = np.zeros_like(x_base)
ax.plot(x_base, y_base, z_base, color='black', linewidth=2, label='База (круг)')

# Генерируем волокна
for i in range(n_fibers):
    phi = 2 * np.pi * i / n_fibers  # угол положения волокна на базе

    # Вычисляем «закрутку» волокна: у особого слоя она отличается
    # Это упрощённая модель монодромии: поворот волокна зависит от близости к особой точке
    dist = np.abs(phi - theta_special)
    if dist > np.pi:
        dist = 2*np.pi - dist
    # Плавный переход: чем ближе к особой точке, тем сильнее закрутка
    twist_factor = 1 + (p_special - 1) * np.exp(-10 * dist)

    t_fiber = np.linspace(0, 2*np.pi, n_points_per_fiber)
    # Координаты волокна: окружность, закрученная вокруг радиуса базы
    r_fiber = 0.15  # толщина волокна (радиус окружности)
    x_f = (R_base + r_fiber * np.cos(t_fiber)) * np.cos(phi)
    y_f = (R_base + r_fiber * np.cos(t_fiber)) * np.sin(phi)
    z_f = r_fiber * np.sin(t_fiber) * twist_factor

    ax.plot(x_f, y_f, z_f, color=plt.cm.viridis(i/n_fibers), linewidth=1.2, alpha=0.8)

# Отмечаем особую точку
x_sp = R_base * np.cos(theta_special)
y_sp = R_base * np.sin(theta_special)
z_sp = 0
ax.scatter([x_sp], [y_sp], [z_sp], color='red', s=80, label='Особый слой (кратность {})'.format(p_special))

ax.set_box_aspect([1, 1, 0.6])
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Упрощённая визуализация расслоения Зейферта:nволокна-окружности с особой закруткой')
ax.legend()
ax.grid(False)

plt.tight_layout()
plt.show()

В итоге получаем следующую картинку:

Видно, что окружности образуют витки, но есть слой с особой закруткой в отличие от расслоения Хопфа [8] ^[2], [9] ^[3] , где все окружности одинаковые.

Таким образом, в данной статье получена красивая компьютерная визуализация одного из фундаментальных понятий в математике‑ расслоения Зейферта (а также расслоения Хопфа).

Автор не имеет специального физико-математического образования и не является профессиональным математиком!

Литература:

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/Расслоение_Зейферта ^[1]

2. С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. (Гл. 10 Многообразия Зейферта) — Москва: Издательство МГУ. 1991,1998. 304 с

3. В. В. Горбацевич, «Расслоение Зейферта для плезиокомпактного однородного пространства» (Сибирский математический журнал, 1996, том 37, № 2, с. 301–313).

4. И. А. Тайманов, «О многомерном обобщении расслоений Зейферта» (Труды МИАН, 2015, том 288, с. 163–170; также в Proc. Steklov Inst. Math., 288 (2015), 145–152).

5. Н. Е. Русских, «О семимерных обобщённых расслоениях Зейферта над комплексной проективной плоскостью» (Сибирские электронные математические известия, 2014, том 11, с. 966–974).

6. Й. Квон, А. Д. Медных, И. А. Медных, «Дискретные расслоения Зейферта над графами и их сложность» (Доклады Академии наук, 2019, том 486, № 4).

7. В. В. Ведюшкина, В. А. Кибкало, «Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем» (Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, 2020).

8. https://ru.wikipedia.org/wiki/Расслоение_Хопфа ^[2]

9. https://habr.com/ru/articles/807915/ ^[3]

10. https://users.mccme.ru/akopyan/papers/villarceau.pdf ^[4]