В этой статье мы сделаем компьютерную визуализацию одного из важнейших понятий в топологии‑ расслоения Зейферта.
Расслоение Зейферта — термин из математики, который означает тип обобщённого расслоения трёхмерных многообразий на окружности. Источник [1]
Оно строится следующим образом:
Пусть v и n‑ взаимно простые целые числа, 0≤v<n. Отображение g‑ поворот диска D2
на угол 2πv/n. В произведении D2×[0,1] склеим каждую точку (x,0)с точкой (g(x),1)
Получим S1-расслоение полнотория. Каждый слой в расслоении Зейферта имеет окрестность с таким расслоением. Если v>0, центральный слой называется особым.
Напишем код на языке программирования Python (помогала нейросеть), чтобы получить иллюстрацию:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
# Параметры
R_base = 1.0 # радиус базы (круг)
n_fibers = 60 # число волокон
n_points_per_fiber = 40 # точек на одно волокно (окружность)
p_special = 3 # «кратность» особого слоя (для закрутки)
theta_special = np.pi # угол, где особый слой
fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# Рисуем базу (круг в плоскости xy)
t_base = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
x_base = R_base * np.cos(t_base)
y_base = R_base * np.sin(t_base)
z_base = np.zeros_like(x_base)
ax.plot(x_base, y_base, z_base, color='black', linewidth=2, label='База (круг)')
# Генерируем волокна
for i in range(n_fibers):
phi = 2 * np.pi * i / n_fibers # угол положения волокна на базе
# Вычисляем «закрутку» волокна: у особого слоя она отличается
# Это упрощённая модель монодромии: поворот волокна зависит от близости к особой точке
dist = np.abs(phi - theta_special)
if dist > np.pi:
dist = 2*np.pi - dist
# Плавный переход: чем ближе к особой точке, тем сильнее закрутка
twist_factor = 1 + (p_special - 1) * np.exp(-10 * dist)
t_fiber = np.linspace(0, 2*np.pi, n_points_per_fiber)
# Координаты волокна: окружность, закрученная вокруг радиуса базы
r_fiber = 0.15 # толщина волокна (радиус окружности)
x_f = (R_base + r_fiber * np.cos(t_fiber)) * np.cos(phi)
y_f = (R_base + r_fiber * np.cos(t_fiber)) * np.sin(phi)
z_f = r_fiber * np.sin(t_fiber) * twist_factor
ax.plot(x_f, y_f, z_f, color=plt.cm.viridis(i/n_fibers), linewidth=1.2, alpha=0.8)
# Отмечаем особую точку
x_sp = R_base * np.cos(theta_special)
y_sp = R_base * np.sin(theta_special)
z_sp = 0
ax.scatter([x_sp], [y_sp], [z_sp], color='red', s=80, label='Особый слой (кратность {})'.format(p_special))
ax.set_box_aspect([1, 1, 0.6])
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('Упрощённая визуализация расслоения Зейферта:nволокна-окружности с особой закруткой')
ax.legend()
ax.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()В итоге получаем следующую картинку:
Видно, что окружности образуют витки, но есть слой с особой закруткой в отличие от расслоения Хопфа [8], [9] , где все окружности одинаковые.
Таким образом, в данной статье получена красивая компьютерная визуализация одного из фундаментальных понятий в математике‑ расслоения Зейферта (а также расслоения Хопфа).
Автор не имеет специального физико-математического образования и не является профессиональным математиком!
Литература:
-
С.В. Матвеев, А.Т. Фоменко. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. (Гл. 10 Многообразия Зейферта) — Москва: Издательство МГУ. 1991,1998. 304 с
-
В. В. Горбацевич, «Расслоение Зейферта для плезиокомпактного однородного пространства» (Сибирский математический журнал, 1996, том 37, № 2, с. 301–313).
-
И. А. Тайманов, «О многомерном обобщении расслоений Зейферта» (Труды МИАН, 2015, том 288, с. 163–170; также в Proc. Steklov Inst. Math., 288 (2015), 145–152).
-
Н. Е. Русских, «О семимерных обобщённых расслоениях Зейферта над комплексной проективной плоскостью» (Сибирские электронные математические известия, 2014, том 11, с. 966–974).
-
Й. Квон, А. Д. Медных, И. А. Медных, «Дискретные расслоения Зейферта над графами и их сложность» (Доклады Академии наук, 2019, том 486, № 4).
-
В. В. Ведюшкина, В. А. Кибкало, «Реализация бильярдами числового инварианта расслоения Зейферта интегрируемых систем» (Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, 2020).
Автор: Maximka200
