Когда дифференциальных уравнений очень много

2026-05-01 в 18:11, admin, рубрики: дифференциальные уравнения

Из курса дифференциальных уравнений многие наверняка помнят теоремы существования и единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Не пересказывая учебники, напомню лишь неформально, как выглядит эта задача по существу.

Дана система ОДУ с начальными условиями:

Дальнейшее зависит от свойств вектор-функции .

Если функция достаточно регулярна (например, непрерывно дифференцируема в некоторой области, содержащей начальные условия), то решение задачи Коши (1) существует, единственно и определено на некотором малом интервале . Это классическая теорема Коши.

Если же лишь непрерывна, решение всё равно существует, но может перестать быть единственным (теорема Пеано).

Хрестоматийный пример отсутствия единственности — скалярное уравнение:

Здесь при решением является как функция , так и .

Интересное начинается, когда переменная принадлежит не $mathbb{R}^m$ , а какому-нибудь бесконечномерному банахову пространству.

В этом случае теорема Коши остаётся в силе, а вот теорема Пеано уже, вообще говоря, неверна.

В качестве примера (принадлежащего Ж. Дьедонне) рассмотрим задачу Коши в пространстве , которое состоит из бесконечных последовательностей , сходящихся к нулю.

С нормой $|x|=sup_{i in mathbb{N}} |x_i|$ это пространство является банаховым.

Зададим в следующую систему:

$dot x_n=sqrt{|x_n|} + frac{1}{n}, quad x_n(0)=0, quad n=1, 2, dots. qquad(2)$

Разделяя переменные в каждом из уравнений, получаем равенства

$2sqrt{x_n} - frac{2}{n} lnleft(sqrt{x_n} + frac{1}{n}right) + frac{2}{n} lnleft( frac{1}{n}right)=t, qquad(3)$

которые неявно определяют компоненты решения .

Предположим, что последовательность принадлежит при некотором .

Это означает, что при . Однако переход к пределу в равенстве (3) при дает абсурдный результат: .

Полученное противоречие доказывает, что задача (2) не имеет решений в .

Оказывается, однако, что для некоторого класса бесконечных систем теорему Пеано всё-таки можно «спасти».

Пусть — некоторый временной интервал, а — произвольное непустое множество индексов. В частности, выше обсуждались случаи, когда и .

Рассмотрим следующую задачу Коши:

$dot x_s=f_s(t, x_{gamma_1}, dots, x_{gamma_n}), quad x_s(0)=hat x_s, quad s in S. qquad(4)$

Здесь ${gamma_1, dots, gamma_n}$ — конечное подмножество , которое является своим для каждой функции . В частности, .

Мы предположим, что каждая функция $f_s colon I times mathbb{R}^{n(s)} to mathbb{R}$ непрерывна и ограничена:

$sup_{I times mathbb{R}^{n(s)}} |f_s|=M_s < infty.$

Верна следующая

Теорема. Задача Коши (4) имеет решение $x(t)={x_s(t) mid s in S}$ , где каждая компонента .

Доказательство. (Нижеследующий текст требует от читателя некоторой осведомленности в области функционального анализа и готовности самостоятельно восстанавливать несложные детали.)

Введем в пространстве $X=mathbb{R}^S$ топологию прямого произведения с помощью системы полунорм:

$x={x_s}_{s in S}in X, quad |x|_Q=max_{s in Q} |x_s|,$

где — произвольное непустое конечное подмножество .

Эта система полунорм превращает в локально выпуклое пространство. Напомним, что подмножество называется ограниченным, если для любого конечного выполнено условие:

$sup_{x in B} |x|_Q < infty.$

Согласно теореме Тихонова, в этой топологии всякое ограниченное и замкнутое подмножество является компактным.

Через обозначим, как обычно, пространство непрерывных функций из в . Это тоже локально выпуклое пространство с системой полунорм

$|u|_Q=max_{t in I} |u(t)|_Q.$

Пространства и полны.

Через обозначим множество непрерывных функций $v(t)={v_s(t)}_{s in S}$ , удовлетворяющих следующим двум условиям:

Множество замкнуто, выпукло и, по третьей теореме Асколи (см. Лоран Шварц Анализ, т. 2, М.: Мир, 1972), компактно.

Через $P_s colon X to mathbb{R}^{n(s)}$ обозначим проекцию на конечномерное подпространство, такую что

$f_s(t, x_{gamma_1}, dots, x_{gamma_n})=f_s(t, P_s(x)).$

Зададим отображение

формулой , где компоненты определяются как

Легко проверить, что . Поскольку — компактное выпуклое подмножество локально выпуклого пространства, то по теореме Шаудера — Тихонова отображение имеет неподвижную точку в .