Шри Янтра без погрешностей: что получается, если нарисовать её точно

Шри Янтра — девять треугольников в круге, которые пересекаются так, что образуют 43 маленьких треугольника. Её часто называют самой сложной для построения фигурой индийской традиции, и на это есть причина: в правильной янтре в десятках мест три линии обязаны сходиться ровно в одну точку. Стоит сдвинуть одну линию на волосок, и точка распадается на крошечный лишний треугольник.

Мы решили разобраться всерьёз. Можно ли построить Шри Янтру абсолютно точно? Сколько таких фигур существует? И если их много, можно ли честно, без подгонки, выбрать среди них одну — «идеальную»?

Коротко: точных янтр бесконечно много, у них ровно четыре степени свободы. Единственной идеальной нет, но есть несколько естественных кандидатов, есть пара неожиданных теорем и есть внятный ответ на вопрос, почему идеальной нет.

1. Фигура

Янтра в индийской традиции — геометрическая диаграмма, на которую смотрят во время медитации или ритуала. Шри Янтра — главная из них. Её основа — девять пересекающихся треугольников в круге (в полном изображении их окружают лепестки лотоса и квадратная ограда, но математика касается только треугольников).

В самом центре фигуры есть маленький треугольник, смотрящий вниз, а внутри него — точка, бинду (санскр. «точка, капля»). В традиции это исходная точка всей фигуры: с неё всё начинается, к ней сходится созерцание. На нарисованной от руки янтре бинду — просто жирная точка. В точной геометрии её нужно определить, и мы берём самое естественное: бинду — центр окружности, вписанной в центральный треугольник. Когда дальше говорится «бинду в центре», это значит, что эта точка совпадает с центром большого круга. Вообще говоря, это не так: у классической фигуры бинду чуть выше центра.

Девять треугольников: пять смотрят вниз, четыре вверх. Номер — по высоте основания, сверху вниз. Крестиком (здесь и на всех рисунках) отмечен центр круга.

Все девять треугольников равнобедренные и симметричны относительно одной вертикальной оси. Пять смотрят вниз, четыре вверх. Два самых больших, t3 и t7, вписаны в общую окружность. Остальные держатся друг за друга двумя видами связей.

Во-первых, вершина одного треугольника лежит точно на основании другого. Таких пар семь.

Во-вторых, три линии сходятся в одной точке: боковая сторона одного треугольника, боковая сторона другого и основание третьего. Таких троек двенадцать; каждая, по симметрии, выполняется сразу слева и справа от оси.

Именно вторые условия делают фигуру трудной. Над ней работали многие: Болтон и Маклеод (1977), Кулаичев (1984), Рао (1998), Юэ (2002). Самая полная математическая формализация — у Кьодо (2021): он переформулировал все условия и доказал, что если задать четыре исходных отрезка, всю остальную фигуру можно построить циркулем и линейкой.

2. Сколько их

Договоримся о координатах. Диаметр круга примем за 1, радиус тогда равен 1/2. Высоту меряем сверху вниз: 0 — верхняя точка круга, 1 — нижняя, 0.5 — центр. Высоту основания треугольника tᵢ обозначим bᵢ: например, b3 = 0.33 значит, что основание t3 проходит на трети диаметра от верха.

Каждый треугольник задаётся тремя числами: высотой основания bᵢ, полушириной основания и высотой вершины. Девять треугольников — 27 чисел. Дальше считаем условия; каждое условие-равенство отнимает одно свободное число:

Четыре — не наша находка, этот результат независимо получили Юэ и Кьодо. Но полезно проговорить, что он значит: точная Шри Янтра не одна, их четырёхмерное семейство. Четыре числа можно выбрать произвольно (в разумных пределах), и тогда вся остальная фигура определяется однозначно. Удобно брать высоты оснований четырёх треугольников: p = (b3, b6, b7, b9). Каждая точная янтра — это точка p в четырёхмерном пространстве параметров.

Есть распространённое мнение, что задача сводится к уравнениям очень высокой степени. Это так, если исключать переменные «в лоб». В удачной параметризации каждое условие элементарно: точка на боковой стороне — это одна пропорция. Систему из двенадцати таких уравнений метод Ньютона решает до 16 знаков за доли секунды.

Эталоном для сравнения служит фигура с параметрами из работы Юэ, p = (0.332, 0.537, 0.602, 0.835). Она близка к традиционным изображениям, и дальше мы называем её классической. Проверка: при этих параметрах наш расчёт воспроизводит опубликованные им величины (0.1256 против 0.126, 0.1867 против 0.187). Четыреста случайных стартов дают одно и то же решение, посторонних ветвей нет.

3. Почему точность — это не педантизм

Слева — точная тройная точка. Справа — одна ширина изменена на 0.004 (0.4% диаметра): точка распалась на маленький треугольник.

Звучит как придирка, но проверяется числом. Если взять точное решение и округлить координаты до шести знаков, фигура разбивается не на 74 области, а на 68: тройные точки распадаются, какие-то области исчезают, какие-то появляются. На глаз этого не видно. Для структуры фигуры это другая фигура.

4. Что такое «Шри Янтра» с точки зрения математики

Условия из раздела 1 не гарантируют, что получится именно Шри Янтра. В том же семействе живут фигуры с другой комбинаторикой: где-то треугольник вылезает за круг, где-то два основания меняются местами. Нужно определение.

Мы взяли все 27 отрезков фигуры, построили полное разбиение плоскости и для каждой области посчитали глубину — в скольких из девяти треугольников она лежит.

Слева: области нечётной глубины — ровно 43 треугольника. Справа: 21 четырёхугольник, все они сидят на чётной глубине.

Результат для классической фигуры:

Всего 74 области: 53 треугольника и 21 четырёхугольник. А нечётные глубины дают 1 + 8 + 10 + 10 + 14 = 43. Это в точности традиционный счёт: центральный треугольник и «ограды» (авараны) из 8, 10, 10 и 14 треугольников. Области чётной глубины — это «швы» между оградами, и все четырёхугольники сидят в них.

Так снимается вопрос, откуда берутся «43», если областей 74. Традиция считает не все области, а ограды нечётной глубины, и они состоят только из треугольников. Совпадение сразу по пяти числам вряд ли случайно.

Отсюда рабочее определение: Шри Янтра — точная фигура из девяти треугольников, у которой профиль глубин совпадает с этой таблицей.

В четырёхмерном пространстве параметров p такие фигуры занимают одну связную область. Мы назвали её архетипической камерой. Её граница — стенки: при переходе через стенку фигура остаётся точной, но меняется её устройство, то есть число и вид областей. У камеры три вида стенок: сливаются основания t8 и t9; разрывается ограда из восьми треугольников; треугольник t1 касается окружности. Последняя стенка особенная: фигура на ней совершенно здорова, просто дальше t1 выходит за круг.

Интересное следствие касается известной системы Кулаичева. Он добавил четыре условия, чтобы выделить единственную фигуру: t3 и t7 равны (конгруэнтны, это записывают t3 ≅ t7); t1 и t9 вписаны в окружность, то есть концы их оснований лежат на ней; бинду в центре круга. Мы воспроизвели его опубликованные числа до 12 знаков. Но по нашему определению его фигура за стенкой: ограда из восьми треугольников распадается на 6 треугольников и 2 четырёхугольника, областей становится 78. Это не ошибка Кулаичева, а следствие другого определения. Его критерии метрические, наш — комбинаторный.

5. Иглы: определение необходимо, но не достаточно

Все три фигуры имеют одинаковую комбинаторику: 74 области, те же 43 треугольника в оградах.

Камера оказалась длинной. На её краях живут «иглы»: фигуры, в которых все девять треугольников сплющены к оси. Формально это Шри Янтры: 74 области, правильные ограды, всё на месте.

Можно ли отсечь их, не вводя произвольных порогов? Мы попробовали два пути.

Комбинаторно — невозможно. Самый тонкий комбинаторный инвариант — порядок, в котором каждый из 27 отрезков пересекает остальные. На 1799 случайных точках камеры он оказался одним и тем же. Иглы комбинаторно неотличимы от хороших фигур.

Через отношение площадей — не разделяет. Отношение самой большой площади к самой маленькой среди 43 треугольников у хороших фигур равно 12–22, у игл — сотни тысяч. Кажется, вот и граница. Но в середине диапазоны перекрываются: встречаются и плохие фигуры с малым отношением, и приличные с большим.

Вывод, который потом пригодился: «не игла» — свойство не фигуры, а критерия отбора. Если выбирать фигуру, оптимизируя величину, которая на иглах плохая, иглы отсекаются сами, без порога. А критерий, который на иглах улучшается, туда и уведёт — проверять его незачем.

6. Как выбрать одну: три класса решений

Четыре степени свободы надо чем-то закрыть. Способы естественно делятся на три класса:

• Первый порядок — одна оптимизация закрывает все четыре параметра, например «сделать все 43 треугольника как можно ближе к равносторонним».

• Второй порядок — четыре независимых точных геометрических условия, например «эта вершина лежит на окружности».

• Гибрид — несколько точных условий плюс оптимизация по оставшимся.

Чтобы сравнивать фигуры, нужны меры качества. Мы использовали три:

• φ — средний квадрат отклонения углов 43 треугольников от 60°. Чем меньше, тем фигура «равностороннее». Сумма углов фиксирована, поэтому 60° не выбор, а естественный центр.

• iso — «округлость» самой вытянутой области. Для каждой области считается отношение 4π·площадь / периметр² (у круга оно равно 1, у тонкой иглы близко к 0) и нормируется так, чтобы правильный треугольник или квадрат давали 1. Берётся худшая область. Эта мера ловит иглы.

• минимальный угол среди всех областей.

Первые неудачи: минимакс

Первая идея была «максимизировать качество самой плохой области» (такой подход называют минимаксом: худшее делаем как можно лучше). На границе камеры фигура вырождается, значит максимум внутри и он единственный. Идея не сработала трижды.

Три разные меры дали три разные точки, разнесённые шире, чем поперечное сечение камеры. Оптимумы прилипли к стенке «t1 касается окружности», потому что это не вырождение и качество там не падает. А сам максимум оказался почти плоским плато: чтобы найти его с точностью 0.001, функцию надо знать до седьмого знака.

Причина в негладкости: «минимум по областям» — функция с изломами. Гладкий критерий ведёт себя совсем иначе.

Кандидат A: минимум φ

Если минимизировать φ — средний квадрат отклонения углов от 60°, — задача становится хорошей. Двадцать стартов из двадцати сходятся в одну точку. Вариант, где учитываются все 74 области (у четырёхугольников углы сравниваются с 90°), даёт ту же точку с точностью 0.004. Глобальный поиск по 88 тысячам проб находит одну впадину.

Самое интересное дальше. Мы запускали минимизацию, не требуя попадания в камеру, только точность и невырожденность. Она сама пришла в камеру и остановилась ровно на условии «t1 касается окружности». Оптимизатор хотел бы идти дальше, но тогда t1 вылез бы за круг. Условие сработало как упор — в оптимизации это называют активным ограничением. Вписанность t1 никто не требовал: это просто место, где треугольники равностороннее всего. Бинду при этом оказалось всего на 0.0027 от центра круга, хотя и этого никто не требовал.

Кандидат A лучше классической фигуры сразу по трём мерам: φ = 32.49 против 35.30, iso = 0.719 против 0.715, минимальный угол 50.6° против 49.7°.

Гибриды с T-инцидентностью

В точной фигуре есть T-образные стыки: конец одного отрезка упирается в середину другого, как ножка буквы «Т». Такая вершина лежит на стороне соседней маленькой области и делит её на две части. Естественно потребовать, чтобы она делила эту сторону ровно пополам.

Всего таких стыков десять. Для семи это выполняется автоматически, по симметрии: отношение частей ровно 0.5000000000. Для оставшихся трёх это настоящие условия. Назовём их так: E1 — конец основания t4 на стороне вдоль t8, E2 — конец основания t6 на стороне вдоль t2, E3 — конец основания t5 на стороне вдоль t6.

E1 вместе с минимумом φ дал фигуру с лучшими на тот момент iso (0.749) и минимальным углом (50.7°). Любопытно, что у классической фигуры E1 нарушено всего на 0.0065 (при идеале 0.5 отношение 0.5065).

E1 и E2 выглядят как пара близнецов, но одновременно не выполняются: если одно точно, другое промахивается. Промах маленький. На семействе, о котором пойдёт речь в разделе 7 (D = 1/2, t1 на окружности, бинду в центре), есть точка, где обе величины отличаются от идеала меньше чем на 0.007. Её мы назвали компромиссом E1/E2. У неё лучшая «округлость» за всю работу: iso = 0.766.

7. Структура: шестиугольники, D и ромбы

Параллельно с поиском кандидатов обнаружилось несколько структурных фактов. Они верны для всех точных янтр или для целых семейств. Для математика это, пожалуй, самое ценное.

Четыре шестиугольника

Граница области «глубина не меньше k» для k = 8, 6, 4, 2 — это граница между соседними оградами. Каждая — шестиугольник. Справа — фигура, у которой внешний и внутренний контуры вписаны в окружности (пунктир).

Границы между оградами — замкнутые контуры, и у каждого ровно шесть настоящих изломов. На них лежат и другие вершины, но в них контур идёт прямо.

Три контура из четырёх собраны из сторон двух разных пар треугольников. Контур k = 4 устроен иначе: это просто пересечение двух треугольников, t2 ∩ t8. Правильным шестиугольником он может быть, только если пара t2, t8 центрально симметрична (то есть t8 получается из t2 поворотом на 180° вокруг центра круга). А такая симметрия невозможна (см. раздел 9). Два отрицательных результата, найденные независимо, оказались одним. Практически это значит, что регулярности осмысленно требовать только от трёх контуров из четырёх.

Ещё одно наблюдение. Если требовать, чтобы внешний контур был зеркально симметричен относительно горизонтального диаметра, то при D = 1/2 (об этой величине ниже) он автоматически оказывается вписанным в окружность с центром в центре круга.

Расстояния D и D′

D — расстояние по вертикали между основаниями t3 и t9, D′ — между основаниями t1 и t7. При D = D′ = 1/2 оба равны радиусу круга.

При перебирании кандидатов бросилось в глаза, что у восьми из двенадцати найденных фигур величина D = b9 − b3 (расстояние между основаниями t3 и t9) лежит в интервале 0.498–0.513. Разброс по камере при этом гораздо шире (стандартное отклонение 0.075). Напомним, что радиус круга равен 1/2, так что D ≈ 1/2 значит «расстояние между основаниями равно радиусу». У классической фигуры D = 0.503, на 0.6% больше радиуса.

При отражении верх ↔ низ пара t3/t9 переходит в пару t7/t1, поэтому естественный «верхний двойник» — D′ = b7 − b1. Условие D = D′ = 1/2 оставляет двумерное семейство, и оно проходит через хорошую область камеры: фигуру почти не портит.

Теорема о трёх ромбах

Три контура, каждый образован парой треугольников «вверх/вниз». Сплошная линия — точный ромб, пунктир — почти ромб.

Треугольники естественно разбиваются на зеркальные пары «вверх/вниз»: t7/t3, t8/t2, t6/t4. Вершины каждой пары лежат на оси, а боковые стороны пересекаются. Получается четырёхугольник — дельтоид («воздушный змей»): две пары равных соседних сторон, симметрия относительно вертикальной диагонали. Назовём внешний Q1, средний Q2, внутренний Q3.

Дельтоид становится ромбом ровно тогда, когда у двух треугольников пары равные углы при вершине. Тогда противоположные стороны параллельны, а дельтоид с параллельными сторонами — ромб. Для внешней пары, где оба треугольника вписаны, равные углы означают, что t3 и t7 просто равны (конгруэнтны). Получается, что ромб — ослабленная конгруэнтность: у пары совпадает форма, но не размер.

Теорема. Из трёх условий — «Q1 — ромб», «Q2 — ромб» и «D = D′» (с любым общим значением) — любые два влекут третье.

Доказательство короткое. Назовём наклоном kᵢ отношение полуширины треугольника к его высоте: чем больше kᵢ, тем тупее угол при вершине. Равные углы при вершине — то же самое, что равные наклоны.

• Внешний ромб. Вершина t7 — верхняя точка круга, t3 — нижняя, концы оснований лежат на окружности; отсюда по свойству хорд k₇ = √((1−b7)/b7), k₃ = √(b3/(1−b3)). Равенство k₃ = k₇ равносильно b3(1−b3) = b7(1−b7), то есть (b7−b3)(b3+b7−1) = 0, то есть b3 + b7 = 1.

• Связь средней пары с внешней. Её дают две тройные точки. Боковые t2 и t7 пересекаются на уровне основания t3: k₂·D = k₇·b3. Боковые t3 и t8 пересекаются на уровне основания t7: k₈·D′ = k₃·(1−b7).

• Если D = D′. Тогда «Q2 — ромб» (k₂ = k₈) равносильно k₇·b3 = k₃·(1−b7). После возведения в квадрат разность раскладывается:

b3·(1−b7)·(b7−b3)·(b3+b7−1) / (b7·(1−b3)) = 0,

и поскольку b3 ≠ b7, остаётся b3 + b7 = 1, то есть Q1.

• Если выполнен Q1. Тогда k₇·b3 = k₃·(1−b7) тождественно, и k₂ = k₈ равносильно D = D′. ∎

Числа подтверждают: все три импликации выполняются с точностью до 10⁻¹³. Смысл теоремы в том, что три внешне разных свойства фигуры (конгруэнтность вписанных треугольников, равенство углов средней пары, равенство двух расстояний вдоль оси) жёстко связаны, и независимых среди них только два.

А все три ромба сразу? Точные решения есть, но все они вне камеры: t2 и t8 вылезают за круг, порядок оснований ломается. Внутри камеры таких фигур не нашлось.

8. Второй порядок: четыре точных условия

(О названиях: кандидатов мы нумеровали по ходу работы. A — первый удачный кандидат первого порядка; B1–B6 — серия систем второго порядка на семействе D = D′ = 1/2 и рядом с ним. Здесь показаны лучшие.)

Самый строгий класс — фигура, заданная четырьмя точными геометрическими условиями без всякой оптимизации. Долгое время он был самым бедным. Большинство красивых четвёрок либо не имеют решения, либо дают вырожденную фигуру:

• все четыре шестиугольника концентричны — решения нет;

• все четыре вписаны в окружности или в эллипсы — решения нет;

• полная параллельность внешних троек — решение есть, но фигура сильно перекошена (φ = 210);

• все три ромба — решения только вне камеры.

Сквозная закономерность всей работы: чем сильнее условие, тем хуже фигура. Второй порядок из «задуманных» условий давал iso 0.32–0.54, первый порядок 0.59–0.73, лучшие гибриды — до 0.766. Механизм понятный: четыре жёстких условия загоняют фигуру на пересечение четырёх поверхностей, а оно почти всегда лежит у края камеры, где фигура уже испорчена.

Но у закономерности нашлось исключение, и оно подсказывает, как выбирать условия. Условие работает хорошо, если оно не придумано из соображений красоты, а обнаружено: фигура почти выполняет его сама, как результат других, независимых оптимизаций. Таковы D ≈ 1/2, касание t1 (оно семь раз возникало как активное ограничение в разных задачах) и центральность бинду.

Кандидат B5

Лучший на сегодня кандидат второго порядка:

D = D′ = 1/2, t1 вписан, внутренний контур — ромб.

Все четыре условия чисто геометрические. Решение одно среди найденных и лежит внутри камеры:

p = (b3, b6, b7, b9) = (0.337125, 0.540087, 0.598331, 0.837125)

Его φ = 35.10 — чуть лучше классической фигуры (35.30), iso = 0.733, минимальный угол 50.7°. Два других контура тоже почти ромбы (дефекты −0.035 и −0.007), хотя этого никто не требовал. Слабое место — бинду: оно на высоте 0.484, заметно выше центра круга (0.5).

Для сравнения — кандидат B1 с бинду в центре вместо ромба (D = D′ = 1/2, t1 вписан, бинду в центре). Он тоже существует и единственный среди найденных, но φ = 45.07, заметно хуже.

9. Отрицательные результаты

То, чего сделать нельзя, так же важно, как то, что можно. Кратко:

• Полная центральная симметрия невозможна. Она требует b3 = 1 − b6 и b4 + b6 = 1, откуда b4 = b3, а это запрещено порядком уровней. Из трёх зеркальных пар симметричной может быть только t3/t7.

• Симметричное разбиение оси невозможно. Вертикальный диаметр несёт 11 отмеченных точек: верх и низ круга и девять уровней оснований. Симметрия относительно центра — пять условий на четыре степени свободы. Минимальный дефект достигается только на вырожденной фигуре.

• Иглы нельзя отсечь определением (раздел 5).

• «Солнечная система» не работает. Если требовать, чтобы вершины каждой ограды лежали на эллипсе, у которого один из фокусов в центре круга (как у планетных орбит Солнце), решения нет даже приближённо. Ограды центрированы, а не сфокусированы. Образ ближе к концентрическим сферам, чем к эллипсам Кеплера, и это измеримое различие, а не метафора.

• Красивые константы ничего не значат, если попадают внутрь свободного интервала. Радиусы четырёх шестиугольников образуют почти геометрическую прогрессию, и её знаменатель пробегает 1.54–1.72. Внутри этого интервала лежат и золотое сечение, и 5/3, и √e. Константа значима, только если выходит как решение определённой системы.

10. Традиционная сетка

Есть традиционный метод построения: диаметр делится на 48 частей, девять оснований проводятся на уровнях 6, 12, 17, 20, 23, 27, 30, 36 и 42. Четыре из них — это наши параметры (17, 27, 30, 42). Если взять их и решить систему точно, остальные пять уровней предсказываются:

Четыре уровня совпадают по построению, а из пяти предсказанных четыре попадают в традиционные значения с точностью около половины деления сетки. Промахивается только верхний, t1, на два с лишним деления. На традиционных параметрах точная фигура выходит за круг: t1 оказывается шире окружности. Традиционная сетка — очень хорошее целочисленное приближение к точной фигуре. Единственный её «компромисс» приходится на то самое место, где, как мы видели, проходит естественная стенка.

11. Итог

Классическая фигура и три кандидата. На глаз различия малы, в числах — нет.

Что получилось в сухом остатке:

1. Точных Шри Янтр бесконечно много — четырёхмерное семейство. По четырём исходным отрезкам остальная фигура строится циркулем и линейкой (Кьодо).

2. Число 43 объяснено: это области нечётной глубины, а 21 четырёхугольник — швы между оградами. Отсюда комбинаторное определение фигуры.

3. Определение не отсекает игл, и никакое комбинаторное определение их не отсечёт. Работает только критерий, который на иглах плох.

4. Единственной идеальной фигуры нет. Разные честные критерии дают разные точки. Но все хорошие кандидаты собираются в узкой области: D ≈ 1/2, t1 на окружности или почти на ней, бинду близко к центру. Внутри этой области выбор уже не геометрический.

5. Найдены структурные связи: теорема о трёх ромбах, невписываемость среднего шестиугольника как следствие запрета симметрии, связь симметрии внешнего контура с его вписанностью.

6. Чем сильнее навязанное условие, тем хуже фигура. Хорошо работают условия, которые фигура почти выполняет сама.

Открытые вопросы

• Построимость кандидатов. По Кьодо, если четыре исходных параметра построимы, построима и вся фигура. Вопрос в том, построимы ли сами параметры кандидатов. У выбранных оптимизацией — почти наверняка нет. У кандидатов второго порядка, вроде B5, — возможно да. Проверять надо так: посчитать координаты с сотней знаков и найти минимальный многочлен — самое простое уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого является это число. Циркуль и линейка умеют только складывать, умножать и извлекать квадратные корни. Поэтому если степень многочлена — степень двойки и корни выражаются через квадратные корни, фигура построима.

• Строгие отрицательные результаты. Наши «решения нет» получены численным поиском и означают «не найдено». Строгое доказательство требует найти гарантированно все решения системы уравнений. Для этого есть метод гомотопического продолжения: берут простую систему с известными решениями и непрерывно деформируют её в нужную, отслеживая каждое решение.

• Единственность решения Кулаичева численно подтверждается, но не доказана. Кьодо отмечает этот вопрос как открытый.

Вайб-математика

Исследование сделано в диалоге человека и ИИ. По аналогии с вайб-кодингом такой способ работы хочется назвать вайб-математикой. Человек не пишет ни формул, ни кода: он смотрит на рисунки, задаёт вопросы, предлагает идеи, иногда просто обводит на картинке контур. Машина превращает это в уравнения, решает их и возвращает числа и рисунок. Цикл занимает минуты, и за несколько дней так проверяются десятки идей. Теорема о ромбах, например, выросла из обведённых от руки контуров меньше чем за час.

Жанр опасен тем же, чем вайб-кодинг: результат выглядит убедительно независимо от того, верен ли он. ИИ одинаково уверенно пишет правильное и неправильное, и в этой работе он ошибался не только в мелочах. Поэтому сложились простые правила:

1. Каждое утверждение подтверждается числом.

2. «Не найдено» не значит «не существует»: все отрицательные результаты, кроме явно доказанных, — численные.

3. Ошибки не стираются, а записываются в журнал поправок, чтобы было видно, каким выводам можно верить.

4. Красивое число подозрительно, пока оно не выходит как решение системы.

5. Прежде чем считать новый критерий, спросить, как он ведёт себя на вырожденной фигуре.

ИИ не заменяет математика, но меняет, во что тот вкладывает время. Считать и проверять стало дёшево. Дорогими остались вопросы: какой задать и какому ответу не верить.

Кто что делал. Ваш покорный слуга — постановка задачи, выбор направлений, ключевые идеи (классификация кандидатов, критерий углов, T-инцидентность, шестиугольные контуры, D′, ромбы) и проверка результатов. Claude — формализация, вычисления, доказательства, код, рисунки и черновик текста.

Благодарности

Работа стоит на плечах тех, кто занимался этой фигурой раньше. Особенно на формализации А. Кьодо, чья статья в открытом доступе и без которой всё было бы втрое дольше. На точной геометрии Жерара Юэ, чьи числа служили эталоном проверки. На работе А. П. Кулаичева, чья система условий — одна из первых серьёзных попыток выделить единственную фигуру. Спасибо также Н. Болтону и Д. Маклеоду, С. Рао и всем, кто сохранял и описывал традиционные методы построения.

Источники

1. A. Chiodo. On the construction of the Śrī Yantra. Comptes Rendus. Mathématique 359 (2021) 377–397. DOI: 10.5802/crmath.163 (открытый доступ).

2. G. Huet. Śrī Yantra Geometry. Theoretical Computer Science 281 (2002) 609–628.

3. A. P. Kulaichev. Śrīyantra and its Mathematical Properties. Indian Journal of History of Science 19 (1984) 279–292.

4. C. S. Rao. Śrīyantra — A study of spherical and plane forms. Indian Journal of History of Science 33 (1998) 203–227.

5. N. J. Bolton, D. N. G. Macleod. The geometry of the Śrīyantra. Religion 7 (1977) 66–85.

6. R. C. Gupta. Yantras and mystic diagrams. Indian Journal of History of Science 42 (2007) 163–204.

7. V.-V. Pustynski. On mathematical complexity of Śrīyantra. Indian Journal of History of Science 49 (2014) 268–277.