Об одной «школьной» нешкольной задаче из задачника Воробьева — Савченко

Вот эта задача.

Фактически мы имеем дело с двумя вопросами. И если первый сформулирован явно, то второй остался за скобками: необходимо доказать, что угол наклона плиты неизменен. Без этого сама постановка задачи теряет смысл.

Начнем со второго вопроса.

Поскольку катки катятся без проскальзывания, точкииявляются их мгновенными центрами скоростей. Поэтому скорости иточекиперпендикулярны отрезкамисоответственно. Так как обе окружности вписаны в угол, хордыипараллельны друг другу, поэтому векторпараллелен вектору.

В силу отсутствия проскальзывания скорости в точке контакта катка и плиты совпадают.

Согласно теореме о проекциях, проекции векторов скоростей любых двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, одинаковы.

Таким образом, проекции векторовина плитуравны. С учётом доказанной ранее параллельности этих векторов, получаем равенство:.

Следующий факт из теоретической механики, который мы используем, состоит в том, что если твердое тело совершает плоское движение и скорости двух его точек равны, то это тело движется поступательно. Неизменность угладоказана полностью.

Заметим, что обе теоремы являются прямым следствием формулы Эйлера о распределении скоростей в твердом теле.

Теперь мы можем перейти к решению поставленной задачи. Обозначим черезугол поворота большого катка и введем неподвижную декартову систему координат,как показано на рисунке. Осьперпендикулярна рисунку и смотрит на зрителя.

Скорость центра каткаравна. Здесь-- радиус катка, а-- единичный орт оси. Угловая скорость катка.

Воспользовавшись формулой Эйлера, найдём:

Поскольку, получаем

Как мы уже доказали, плита движется поступательно, поэтому скорость любой точки плиты совпадает со скоростью точки.

Найдем кинетическую энергию плиты:

Черезобозначим центр масс плиты. Его скорость равна скорости точки, поэтому для радиус-вектора центра масс мы можем написать

Откуда

Потенциальная энергия определена с точностью до добавления произвольной константы, поэтому из написанной выше формулы найдём:

Предположим, что связи идеальны. Далее можно написать уравнение Лагранжа c лагранжианом, но мы завершим решение методом, который ближе к школьному курсу физики.

Продифференцируем по времени закон сохранения энергии

после сокращений получаем:

Отсюда находим

При этом ускорение любой точки плиты равно

Это, вместе с предыдущей формулой, и даёт ответ задачи.

Отметим, что наиболее популярное в сети решение этой задачи содержит два пробела. Во-первых, отсутствует строгое доказательство поступательного движения плиты. Во-вторых, не обосновано исключение сил реакции катков из итоговой формулы. Данный шаг является корректным именно в силу гипотезы идеальности связей.