Случайные жизненные совпадения, или как вышло, что на тракторном заводе вам подарили торт

в 16:03, , рубрики: математика

«Совпадение» — случай, который нам кажется очень маловероятным, но все же случается.

Вы встречали в жизни «совпадения»? На парковке три красных автомобиля стоят рядом, ваш знакомый надел на встречу точно такую же футболку, номер с красивым видом оказался единственным свободным, а компьютер выключился в тот момент, когда надо было открывать дверь гостям. Мы встречаем ситуации, которые сами по себе очень маловероятны. И действительно, давайте посмотрим, с какой вероятностью у моего дома остановится два Nissan Skyline? Даже если всего автомобилей 10000, и среди них только два Nissan Skyline, то вероятность ничтожная:
$$display$$frac{2!}{10000^2}$$display$$
Каждый раз мы удивляемся таким «совпадениям», но так ли это маловероятно? Разберемся.

Для начала введем понятие «фиксировать событие». Это означает, что перед проведением эксперимента (то есть перед тем, как мы посмотрим на стоянку у моего дома) мы напишем на листочке, какую именно пару автомобилей мы хотим увидеть.

Допустим, есть две параллельные вселенные. В каждой из них вы сидите дома и собираетесь идти в кафе:

В первой вы идете и по дороге замечаете: на светофоре стоят два одинаковых грузовика, а в кафе празднуют день рождения сразу два гостя.

Удивительно, эти совпадения так маловероятны!

Во второй вам предлагают сначала зафиксировать события — попробовать предсказать «совпадения». Вы идете в кафе и наблюдаете за происходящими событиями.

В первом случае вероятность высокая, вы заметили все случайные «совпадения».

А во втором вероятность этих событий действительно мала: ведь вы записали всего несколько «совпадений». Скорее всего вы вообще не встретите «совпадений».

Объясняю на примере.

Мы преобразуем нашу вселенную в парковку для автомобилей, а пространство событий в «совпадения» пар автомобилей, то есть в множество совпадений моделей автомобилей.

image

Характеристики мира

  • Все автомобили пронумерованы от 1 до 1000000.
  • Количество моделей авто: 1000, причем распределены одинаково.
  • Парковка имеет размеры 1000х1000 автомобилей.
  • Пешеходная дорожка проложена только с одной стороны парковки.
  • Распределение автомобилей по парковке случайно.

Теперь пройдемся по дорожке без фиксации события. Какова вероятность того, что мы увидим две одинаковых машины, стоящих рядом? Довольно большая.

Чуть-чуть математики (необязательно)

Очевидно, что
$$display$$frac{1}{1000}$$display$$ — вероятность того, что выпадет именно модель N
$$display$$frac{1}{1001}$$display$$ — вероятность того, что снова выпадет эта модель
999 — количество перемещений этой пары автомобилей вдоль дорожки
1000 — количество моделей
=> P = $$display$$frac{1}{1000} * frac{1}{1001}* 1000 = frac{999}{1001}$$display$$ — вероятность, что первые два места будут заняты автомобилями одной модели. Однако у нас есть 999 повторений, то есть вероятность того, что мы все-таки увидим два рядом стоящих одинаковых автомобиля равна
$$display$$1 — (1 — frac{1}{1001})^{999} approx 0.632337$$display$$
То есть несмотря на такое большое количество моделей, вероятность встречи одинаковых рядом стоящих авто больше 0.6. А теперь зафиксируем событие:

Мы хотим увидеть, с какой вероятностью на первых двух местах будет именно модель K.
$$display$$2! * frac{1}{1000} * frac{1}{1001}$$display$$
То есть заметим, что она уже намного меньше, вернее она почти невыполнима.

Что было в спойлере: мы заметили, что если пройтись по дорожке в поиске одинаковой пары машин, что найдем с вероятностью более 63%. А вот если сначала придумать, где и какие автомобили расположены, то вероятность события будет менее одной полумиллионной.

Теперь возвращаемся к реальной жизни. Как на парковке было много разных возможных случаев, так и в нашем мире могут совпасть цвета шерсти соседских кошек, буквы номеров машин на светофоре, стипендию дали в самый нужный момент.

Вывод: несмотря на то, что вероятность каждого отдельного «совпадения» крайне мала, вероятность того, что произойдет хотя бы какое-нибудь «совпадение» довольно велика. На нашей парковке мы ждали хотя бы какого-нибудь «совпадения», и так как нам были не важны ни модель машин, ни то, где расположена пара, то и вероятность была высокой. А вот если вы перед выходом из дома зафиксировали событие, тогда вероятность встретить «совпадение» уже очень мала. Но вы, разумеется, не уменьшили вероятность этого события, вы просто перестали учитывать остальные.

Так что не удивляйтесь, когда вам на работе внезапно подарят торт. Потому что вам бы все равно так или иначе выразили симпатию.

Автор: бро

Источник


* - обязательные к заполнению поля