Главная

Об одной задаче из физтеховского задачника Пятницкого по аналитической механике

2026-02-25 в 12:03, admin, рубрики: теоретическая механика

Речь пойдет о следующей задаче из «Сборника задач по аналитической механике» (Е. С. Пятницкий, Н. М. Трухан, Ю. И. Ханукаев, Г. Н. Яковенко; под редакцией Е. С. Пятницкого. — 4-е изд. — Москва, МФТИ, 2018):

Об одной задаче из физтеховского задачника Пятницкого по аналитической механике - 1

Ответ, приводимый в сборнике, поистине ужасает:

Об одной задаче из физтеховского задачника Пятницкого по аналитической механике - 2

Кстати, не очень понятно, почему функция, удовлетворяющая данному условию, вообще должна существовать.

В этой статье мы приведем авторское решение, то есть решение, предложенное автором задачи:

O. Bolza. Lectures on the Calculus of Variations. University of Chicago Press (1904).

Не вдаваясь в подробности о современном состоянии обратной задачи вариационного счисления, поставим вопрос чуть более формально.

Всякое ли скалярное уравнение второго порядка

эквивалентно уравнению Лагранжа

$frac{d}{dt}frac{partial L}{partial dot x}-frac{partial L}{partial x}=0,quad L=L(t,x,dot x),$

в том смысле, что если -- решение первого уравнения, то оно является решением и второго, и наоборот?

Чтобы не углубляться в детали, скажем, что функция является гладкой во всем $mathbb{R}^3={(t,x,dot x)}$ .

Ответ на поставленный вопрос звучит так: да, в малой окрестности любой точки существует функция Лагранжа , такая, что соответствующее уравнение Лагранжа эквивалентно исходному уравнению второго порядка.

Действительно, перепишем уравнение Лагранжа в явном виде:

$L_{dot xdot x}ddot x+L_{dot x x}dot x+L_{dot x t}-L_x=0,$

и подставим в него из исходного уравнения (нижние индексы здесь и далее обозначают частные производные):

$L_{dot xdot x}f+L_{dot x x}dot x+L_{dot x t}-L_x=0.qquad (1)$

Вот из этого уравнения в частных производных нам и надо найти функцию .

Введем обозначение

$u(t,x,dot x)=L_{dot xdot x}(t,x,dot x)qquad(2)$

и продифференцируем уравнение (1) по

$u_{dot x}f+uf_{dot x}+u_xdot x+u_t=0.qquad (3)$

Снабдим это уравнение начальным условием, смысл которого разъяснится ниже:

$umid_{t=t_0}=1.qquad(4)$

Задача Коши (3)-(4) имеет единственное решение определенное в достаточно малой окрестности точки . Это следует из метода характеристик. При этом найти функцию в виде явной формулы мы, вообще говоря, не можем.

Функция находится по формуле (2) двукратным интегрированием функции по . Однако, поскольку мы дифференцировали уравнение (1) по , мы не можем утверждать, что данная функция удовлетворяет (1); она удовлетворяет уравнению

$L_{dot xdot x}f+L_{dot x x}dot x+L_{dot x t}-L_x=psi$

с некоторой функцией .

А вот функция уже удовлетворяет уравнению (1).

Заметим, что в силу (4) выполнено равенство $tilde L_{dot xdot x}mid_{t=t_0}=1.$ Следовательно, в малой окрестности точки имеем $tilde L_{dot xdot x}ne 0$ .