Фракталы в иррациональных числах. Часть 2

в 23:39, , рубрики: javascript, Алгоритмы, визуализация данных, математика

Часть 0: Фракталы в простых числах.
Часть 1: Фракталы в иррациональных числах.

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 1

В статье присутствуют Gif и контрастные картинки. У эпилептиков может случиться эпилептический припадок.

В предыдущей статье мы рассмотрели алгоритм визуализации двоичных последовательностей. Давайте вспомним.

Берем двоичную последовательность. В качестве примера несколько первых бит фрактальной последовательности, рассмотренной в предыдущей статье:

$Q_n=lfloor nsqrt{2} rfloor ; (textrm{mod} ; 2); quad n=0,1,2,…$

0100110110010011001001101100

Рисуем квадратное клеточное поле. Расставляем биты у верхней границы. Расстояние между битами — две клетки:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 3

Для каждого бита рисуем по диагонали пунктирную траекторию (через клетку). Для нулей первый штрих рисуем вправо:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 4

Для единиц — влево:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 5

Нарисовали траекторию для каждого бита. Получили «бильярдный» паттерн:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 6

Идентичный паттерн (без дефекта по диагонали — последовательность бесконечная, мы же ее визуализировали как конечную последовательность) можно получить другим способом. Инвертируем каждый четный бит в последовательности:

0001100011000110011100111001

Далее для каждого бита рисуем вертикальные пунктирные линии:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 7

Расставляем биты слева, рисуем горизонтальные линии:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 8

Совмещаем:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 9

После написания первой статьи, оставались нерешенными два вопроса:

1. Можно ли нарисовать фрактальный паттерн для иррациональных чисел. Можно. Вопрос решили в предыдущей статье. На картинке выше — часть фрактального паттерна для $sqrt{2}$. Если выделить одну из кривых на этом паттерне:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 11

Получим известную фрактальную кривую — «Fibonacci word fractal».

2. Второй вопрос — можно ли написать алгоритм, закрашивающий паттерн:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 12

Решением второго вопроса займемся в этой статье. Раскрашивать паттерны будем с помощью ткацкого станка, работу которого сымитируем с помощью JavaScript.

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 13

На схеме выше — самый простой станок. Он состоит из двух рамок, через которые протянуты нити. Рамки соединены с педалями. При нажатии на одну из педалей, одна из рамок поднимается. Нити, протянутые через эту рамку поднимаются и в получившийся зазор между нитями протягивается поперечная нить. Если четные и нечетные нити протянуть через разные рамки — получается переплетение в шахматном порядке:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 14

В более сложных станках используется от четырех и больше рамок:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 15
Ashford 4 Shaft Table Loom

Для того, чтобы не запутаться, какую педаль нажимать — составляют схему.

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 16

В верхней правой части схемы отмечено, через какие рамки проходят нити (схема для ткацкого станка на 8 рамок).
В левом верхнем углу — какие педали зажимать одновременно (каждая педаль связана только со своей рамкой).
В левой нижней части — в каком порядке зажимать педали.
В правой нижней части — какое переплетение мы получим. Если протягивать белую нить через черные — получим монохромный узор.

Сходу «въехать» в принцип может показаться немного затруднительным. На картинке ниже показано, как формируется ткацкий узор:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 17

Напишем скрипт. Протягивать нити через рамки будем с помощью одномерного массива array2. В одномерный массив array1 запишем очередность зажатия педалей. В array3 (бинарный массив 8х8) запишем, какие педали зажимать одновременно.

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 18

	for(var i=0;i<length;i++){
		for(var j=0;j<length;j++){
			if(array3[array1[i]][array2[j]]){
				context.fillRect(i, j, 1, 1);
			}
		}
	}

Скрипт (работает в Google Chrome).

С помощью нашего импровизированного ткацкого станка мы можем нарисовать самые разнообразные узоры:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 19

Но так исторически сложилось, что у среднестатистического человека не больше двух ног. Поэтому удобно одновременно зажимать не больше двух педалей. Один из самых популярных шаблонов для ткацкого станка выглядит следующим образом:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 20

Для 4-х рамок. И его модификация для 8-ми рамок:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 21

Неожиданно, узоры (или фрагмент узоров) сделанные с помощью этого шаблона, похожи на наши «бильярдные» паттерны. Кроме того, эти узоры получаются закрашенными:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 22

Можно научиться подбирать «бильярдные» паттерны для ткацкого станка. Пример:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 23

В начале статьи мы уже видели фрагмент этого паттерна.

Закончим с ткацкими станками и напишем скрипт для визуализации двоичных последовательностей. От одного из массивов можем избавиться — паттерн симметричен по диагонали. Как заполнить оставшийся массив? Элементарно:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 24

Берем последовательность для $sqrt{2}$. Создаем массив. В нулевой элемент массива записываем нулевой бит последовательности. Поочередно берем каждый бит последовательности. Если n-й бит = 1 — записываем в массив a[n]=a[n-1]+1. Если бит = 0 — записываем a[n]=a[n-1]-1

$Q_n=lfloor nsqrt{x} rfloor ; (textrm{mod} ; 2); quad n=0,1,2,…\ a_n=begin{cases}a_{n-1}+1, Q_n=1;\a_{n-1}-1, Q_n=0end{cases}$

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 27

	var a=[0];
	for(var i=1;i<size;i++){
		if(Math.floor(i*Math.sqrt(2))%2==1)
			a[i]=a[i-1]+1;
		else
			a[i]=a[i-1]-1;
	}

Проверяем:

	for(var i=0;i<size;i++){
		context.fillRect(i, a[i]+50, 1, 1);
	}

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 28

Фактически мы уже получили элементарный фрактал, но продолжим.

Далее разберемся с матрицей:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 29

Суммируем $x$ и $y$. Делим по модулю на 4. Если получившийся результат = 0 или 1 — записываем в матрицу true. Для 2 и 3 записываем false. Можем обойтись без матрицы (заранее неизвестно, какие максимальные и минимальные значения принимает a[n]). Суммируем a[x] и a[y]. К получившейся сумме добавляем некоторое число $C$ (чтобы избавиться от тех случаев, когда сумма — отрицательное число). Делим по модулю на 4. Для значений 0 и 1 закрашиваем пиксель с координатами $x$ и $y$.

Окончательный алгоритм занимает всего несколько строк:

	var a=[0];
	for(var i=1;i<size;i++){
		if(Math.floor(i*Math.sqrt(2))%2==1)
			a[i]=a[i-1]+1;
		else
			a[i]=a[i-1]-1;
	}
	for(var x=0;x<size;x++){
		for(var y=0;y<size;y++){
			q=(a[x]+a[y]+512)%4;
			if(q==0 || q==1) context.fillRect(x, y, 1, 1);
		}
	}

Визуализируем наши фрактальные последовательности.

$Q_n=lfloor nsqrt{2} rfloor ; (textrm{mod} ; 2); quad n=0,1,2,…$

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 36

Можно легко модифицировать скрипт для того, чтобы получить RGB-изображение:

			q=(a[x]+a[y]+512)%4;
			/*if(q==0 || q==1) context.fillRect(x, y, 1, 1);*/
			if(q==0) context.fillStyle = 'rgb(255,0,0)';
			if(q==1) context.fillStyle = 'rgb(0,255,0)';
			if(q==2) context.fillStyle = 'rgb(0,0,255)';
			if(q==3) context.fillStyle = 'rgb(0,0,0)';
			context.fillRect(x, y, 1, 1);

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 37

Выше мы к сумме a[x]+a[y] прибавляли некоторое число $C$. Если не прибавлять это число — минимальное значение суммы = -8, максимальное = 8 (для $x$ и $y$ от 0 до 750). Если убрать $C$ — в некоторых случаях сумма получается отрицательной и не кратной 4-м и для этих случаев пиксель не закрашивается (остается черным):

			q=(a[x]+a[y])%4;
			if(q==0 || q==1) context.fillRect(x, y, 1, 1);

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 42

Можно представить это так, будто часть фрактала находится ниже некоторой мнимой границы (ниже этой границы закрашиваются только отрицательные значения кратные 4-м: -4, -8, -12, ...).

Можем посмотреть, где находится эта граница:

			if(a[x]+a[y]>=0) context.fillRect(x, y, 1, 1);

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 43

Вместо деления по модулю, можем сравнить сумму с некоторым определенным значением и тем самым закрасить только один «слой» фрактала. В качестве примера возьмем среднее между минимальным и максимальным значением:

			q=(a[x]+a[y]);
			if(q==0) context.fillRect(x, y, 1, 1);

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 44

Если не понятно

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 45

Изменяя значения от минимального до максимального, можем посмотреть как меняются «слои» в динамике:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 46

Если не понятно

Настоятельно не рекомендую открывать спойлер, если у вас эпилепсия

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 47

Кроме того, мы можем «в лоб» сравнить a[x] с a[y] и тоже получить фрактальный паттерн:

if(a[x]==a[y]) context.fillRect(x, y, 1, 1);

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 48

Следующая последовательность:

$Q_n=lfloor n(sqrt{2}+1) rfloor ; (textrm{mod} ; 2); quad n=0,1,2,…$

Фрактал:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 50

RGB:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 51

Средний слой:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 52

В динамике:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 53

$Q_n=lfloor nsqrt{3} rfloor ; (textrm{mod} ; 2); quad n=0,1,2,…$

Фрактал:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 55

RGB:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 56

Средний слой:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 57

В динамике:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 58

$Q_n=lfloor n(sqrt{3}+1) rfloor ; (textrm{mod} ; 2); quad n=0,1,2,…$

Фрактал:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 60

RGB:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 61

Средний слой:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 62

В динамике:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 63

$Q_n=lfloor nsqrt{5} rfloor ; (textrm{mod} ; 2); quad n=0,1,2,…$

Фрактал:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 65

RGB:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 66

Средний слой:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 67

В динамике:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 68

Ну и наш любимый фрактал (часть этого паттерна можно нарисовать с помощью бильярда, с размерами сторон равными числам Фибоначчи):

$Q_n=lfloor n(sqrt{5}+1) rfloor ; (textrm{mod} ; 2); quad n=0,1,2,…$

Фрактал:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 70

RGB:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 71

Средний слой:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 72

В динамике:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 73

Еще одна последовательность в завершение:

$Q_n=lfloor n^{2}sqrt{2} rfloor ; (textrm{mod} ; 2); quad n=0,1,2,…$

Паттерн:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 75

RGB:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 76

Средний слой:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 77

В динамике:

Фракталы в иррациональных числах. Часть 2 - 78

Другие квадратные корни можно вбить в скрипт. (Можно вбивать дробные значения).
Во втором скрипте можно вбить последовательность вручную.
Еще один скрипт для бильярдов. Координаты мышки — размеры бильярда. Паттерн в левой части формируется из последовательности, полученной с помощью остатков от деления (подробности в предыдущей статье). В правой части — четность $lfloor nfrac{y}{x}rfloor$.

Автор: Сергей Герасимов

Источник


* - обязательные к заполнению поля