Естественные преобразования. Часть 2

Это продолжение предыдущей статьи про естественные преобразования. В прошлой статье мы разобрали теормин, и закончили на доказательстве Утверждения 1 (нумерация продолжается с предыдущей статьи). В данной статье мы обсудим преобразование между и и некоторые необходимые условия для того, чтобы называть какой-то изоморфизм каноническим или неканоническим, после чего немного поговорим про "каноничность".

Пререквизиты: прошлая статья, ядро и образ линейного отображения, евклидово пространство, ортогональные преобразования, отношение эквивалентности

Глава 2. Немного про первое двойственное пространство

В прошлой статье я упомянул, что изоморфизм , который фиксированному базису сопоставляет двойственный базис , не является естественным. Интуиция у такого предположения довольно простая - двойственность может нарушаться под действием стрелок и .

Для примера рассмотрим трехмерное векторное пространство и зафиксируем там некоторый базис и двойственный . Тогда при изоморфизме зафиксируем в базис и двойственный к нему . При этом также зафиксируем еще два базиса , в пространстве . Тогда двойственный к базис имеет вид , а двойственный базис к имеет вид . Если при этом преобразование базиса в представить в виде линейной функции , то можно показать, что функции и не образуют естественного преобразования между эндофункторами и в категории . Для этого рассмотрим Диаграмму 1

А с другой стороны

Что и доказывает некоммутативность Диаграммы 1 в общем случае. Понятно, что похожие манипуляции можно провести для любой пары и , чтобы добиться некоммутативности диаграммы для каждой пары отображений и , т.е. для любых двух базисов и существует стрелка (причем единственная, если сохранять порядок базисных элементов) , которая переводит базис в базис , а тогда для всякой такой пары базисов найдется стрелка , которая делает Диаграмму 1 некоммутативной.

Однако расходиться на этом не стоит. Мы показали, что есть стрелки, при которых Диаграмма 1 не коммутирует, однако теперь хочется найти стрелки, которые будут делать эту же диаграмму коммутативной. Для этого зададимся следующим вопросом. Пусть у нас есть базис и есть изоморфизм , который переводит базис в базис ; а можно ли как то выразить двойственный к через ?

Стоит начать с рассмотрения отображения и описания образа двойственного базиса. Образом базисного элемента служит . Тогда если подставить вектор в , то получиться в точности

Отсюда немедленно следует, что двойственным к является базис . Теперь хочется, чтобы при изоморфизме базис перешел в . Для этого обратимся к матрицам. Пусть - матрица стрелки в базисе . Тогда для справедлива следующая выкладка

Отсюда следует, что для стрелки образ базисного элемента это , а для и базисного элемента это . Стрелка отправит в . Тогда равенство достигается в случае откуда получается достаточное условие коммутативности, то есть если, то Диаграмма 1 коммутативна. Очевидно, что это и необходимое условие, то есть если Диаграмма 1 коммутативна, то .

Мы только что доказали следующий критерий коммутативности Диаграммы 1

Утверждение 4. Диаграмма 1 коммутативна тогда и только тогда, когда для матрицы линейного отображения , записанной в базисе , выполняется .

Стоит заметить, что такие матрицы называются ортогональными и возникают они при изоморфизмах евклидовых пространств. Это наводит на мысль, что на при помощи можно определить скалярное произведение. И действительно, если рассмотреть билинейную функцию , то зафиксировав базисы , и записав , в координатах наших базисов, мы получим что то похожее на скалярное произведение

При этом если подействовать на стрелкой , а на стрелкой , то значение билинейного отображения не измениться

Что в терминах матриц выглядит похоже на Утверждение 4

Стоит отметить, что скалярное произведение это билинейное отображение , поэтому его мы определяем в точности как или равносильное ему . Отсюда следует связь с билинейным отображением выше .

Базис , с помощью которого определялось скалярное произведение, станет ортонормированным

где - символ Кронекера, что и является условием ортонормированности базиса.

Евклидовы пространства

После перехода к евклидовым пространствам необходимо переформулировать утверждение об естественном изоморфизме и в терминах категории .

Пусть на векторном пространстве зафиксировано скалярное произведение . Всякая стрелка в этой категории является изоморфизмом, который сохраняет скалярное произведение, т.е. .

Всякий функционал можно описать в терминах скалярного произведения, а именно (или ). Если теперь ортонормированный базис, то двойственной к нему базис есть в точности , т.к. . И действительно, .

Опишем эндофунктор . Для этого нам достаточно описать следующее преобразование . Так как для любого функционала значение в точке равно , тогда значение функционала в точке равно в точности , что приводит к следующей выкладке

Отсюда следует, что . Т.е. в категории преобразование описывается в точности как .

Сформулируем теперь само утверждение об естественности изоморфизма

Утверждение 5. Изоморфизм является естественным изоморфизмом между эндофункторами и .

Доказательство. Для начала докажем, что естественное преобразование. Для этого для каждого ортогонального преобразования проверим на коммутативность следующую диаграмму

Для произвольной точки с одной стороны

А с другой стороны

Обратное преобразование определяется как . Благодаря одинаковой размерности это отображение является изоморфизмом. Проверка происходит совершенно аналогично проверке выше, поэтому я ее пропущу. Итого мы получили, что между эндофункторами и существует естественный изоморфизм .

Глава 3. Обобщение

Необходимые условия естественности преобразования

Стоит сказать, что есть большая разница между естественными преобразованиями (в частности, естественными изоморфизмами) и просто стрелками в некоторой категории . Для того, чтобы задаваться вопросом естественности в категории , необходимо рассмотреть набор стрелок для каждого объекта , а также иметь два ковариантных эндофунктора (для простоты пусть ), т.е. просто взять случайную стрелку и проверить ее на естественность нельзя - нужно определить семейство стрелок (еще называемое как инфраестественное преобразование, однако мы будем называть его просто преобразование) и функтор .

При этом одно и то же преобразование может быть сопоставлено двум разным функторам и быть в одном случае естественным преобразованием, а в другом нет.

Пример. Преобразование в категории (подкатегория в с теми же самыми объектами, любые две стрелки которой коммутируют, т.е. ) является естественным преобразованием, если и не является таковым, если , где

Это действительно функтор, т.к. и .

При этом если у нас зафиксирован функтор , то два разных преобразования могут одновременно являться естественными (или даже естественными изоморфизмами).

Пример. Функтор в соответствующей категории естественно изоморфен самому себе относительно, например, любого преобразования , где . При этом для фиксированного базиса преобразования также определяют естественный изоморфизм между функторами и , несмотря на то, что для их определения требуется базис. Напомню, что , откуда для любого с одной стороны

, где мы считаем, что , а верно, т.к.

для любого функционала . С другой стороны верно

Только что мы смогли построить естественное преобразование с помощью базиса (обратное строиться и проверяется аналогично, поэтому это естественный изоморфизм), хотя в предыдущей статье строили его без использования базиса. Это приводит нас к мысли, что "каноничность" этого изоморфизма хоть и связана с базисом, но отнюдь не с возможностью построить изоморфизм "без выбора базиса", т.к. мы могли не знать о преобразовании , но все равно построить естественный изоморфизм.

Все это приводит к тому, что для однозначного определения естественности преобразования нам необходимо:

1. Зафиксировать категорию .

2. Зафиксировать ковариантный эндофунктор .

3. Зафиксировать преобразование для каждого объекта .

Опишем теперь понятие "изоморфизм без выбора базиса" в категории .

Без выбора базиса

Базис векторного пространства обычно определяется как набор линейно независимых векторов , линейная оболочка которых совпадает со всем пространством. Однако мы попытаемся определить это понятие с помощью стрелок. Линейную оболочку векторов можно определить как образ линейного отображения , где - строка из символов Кронекера. Это совпадает с классическим определением линейной оболочки, т.к. всякая конечная сумма это в точности образ вектора при линейном отображении . Линейная независимость накладывает на линейное отображение требование инъективности, т.к. если не инъективен, то у него нетривиальное ядро , а это означает, что существует нетривиальная линейная комбинация векторов из , которая равна 0. Совпадение линейное оболочки со всем пространством дает требование сюръективности, т.к. образ должен быть всем . Таким образом, всякий базис пространства это образ при некотором изоморфизме . В обратную сторону это тоже верно - при изоморфизме образ всегда является базисом. Это соответствие позволяет зафиксировать базис в с помощью выбора изоморфизма . Этот подход хорош тем, что у нас есть сразу 2 универсальных объекта - координатное n-мерное векторное пространство и произвольные стрелки . Этот подход можно развить и прийти к концепции арифметического пространства, т.е. работать только с координатными пространствами и стрелками между ними. Тогда определить понятие "изоморфизм без выбора базиса" можно в таком контексте. Однако есть и альтернативный подход.

Зафиксируем произвольный эндофунктор и зафиксируем преобразование , которое для каждого является изоморфизмом. Обозначим за всевозможные изоморфизмы . Тогда на группе (групповая операция это композиция стрелок) можно ввести следующее отношение эквивалентности

Тогда класс эквивалентности образует подгруппу в из всех таких , что (так, кстати, можно получить ортогональную группу с точностью до изоморфизма групп. Для этого достаточно взять ). Теперь скажем, что сопоставляет некоторый базис базису . Если теперь мы возьмем , то получим , откуда можно вытащить, что имеют одинаковые матрицы в базисах соответственно. Следовательно, , т.к. это равенство выполняется на уровне матриц (матрица отображения задет преобразование базиса в . Тогда на уровне матриц верно ). Отсюда получаем, что для всех . В случае, когда выполняется , преобразование можно задать на любом базисе без изменения его естественности, что мы и будем интерпретировать как "без выбора базиса".

Это объясняет почему у нас удалось задать преобразование и все равно получить естественное преобразования, несмотря на фиксацию базиса.

Выводы

После всего изложенного выше ответ на вопрос из первой статьи будем таким:

Из возможности построить тот или иной изоморфизм без выбора базиса еще не следует какое-то хорошее и интересное свойство. Однако если рассматривать не один изоморфизм, а целое инфраестественное преобразование, то это как минимум упростит нам проверку его естественности, а как максимум подарит нам полезное свойство.

При этом иногда для построения таких естественных изоморфизмов может понадобиться дополнительная структура, как было в случае с двойственным пространством и скалярным произведением, благодаря которой этот изоморфизм можно построить без выбора базиса. Однако знание такой структуры не является чем-то необходимым для доказательства естественности.