Главная

Очень большие числа в физике

2023-10-22 в 15:53, admin, рубрики: математика, физика

В физике есть понятие естественности (naturalness). Когда мы получаем безразмерный коэффициент, то мы ожидаем, что либо это безразмерный коэффициент, 'утекший' из математики, например

$frac{sqrt{2}}{4pi}$

либо же, если этот коэффициент не следует из математики (по крайней мере, на нашем текущем уровне понимания, и в таком случае называется 'параметром стандартной модели'), то его значение близко к единице - например, 1.2, 0.29, даже 137, но никак не один миллиард. Впрочем, даже комбинируя математические операции и константы пи, e и другие получить большие числа довольно сложно, хотя и возможно, например:

но такие конструкции редко встречаются в математике (за исключением гугологии - теории быстрорастущих функций), и выглядят неестественно. Поэтому нас удивит

Слабость гравитации

На достаточно больших расстояниях сила электрического притяжения электрона и протона убывает пропорционально квадрату расстояния, равно как и гравитационное притяжение между ними. Поэтому отношение двух сил безразмерно и не зависит от расстояния и равно

$frac{F_e}{F_g} approx 2.27 * 10^{39}$

Как ни странно, вопрос 'почему гравитация такая слабая' лучше переформулировать в рамках 'натуральных' единиц измерения (на самом деле их несколько вариантов), где

Мы будем использовать безразмерные единицы и дальше. Как вы видите, G=1, и слабость гравитации объясняется иначе. Это не гравитация слаба, это элементарные частицы слишком легки. Например, протон примерно на 19 порядков легче массы Планка. Так как в формулы для силы притяжения перемножаются две массы, то из 19 порядков получаем 39. Как мы видим, Общая Теория Всего должна объяснить 'всего лишь' 19-20 порядков, а не 39-40.

Кстати, вас может удивить, что протон в тысячу раз тяжелее электрона. Но здесь нет никакой магии, кварки намного легче протона и масса протона это энергия цветного взаимодействия/релятивистcкая масса кварков, летящих почти со скоростью света - оба объяснения правильны (или не правильны) - как ощупывание слона слепыми с разных сторон.

Загадка есть с массой нейтрино, которые еще на много порядков легче обычных частиц, но тут хотя бы есть идеи, как появляется эта масса. С гравитацией некоторые идеи тоже есть, но пока никакие эксперименты с микро-гравитацией не дали никакого лучика надежды на дополнительные измерения и другие возможности.

Важность для жизни

Наличие такого большого разрыва (gap) в силе взаимодействий является не багом, а фичей. Без такого разрыва жизнь была бы невозможна.

Очевидно, разумная жизнь должна иметь большой мозг (по числу частиц). Эти частицы в течение длительного времени должны получать энергию фотонов (косвенно через еду) от светила. Следовательно, светило должно быть ОЧЕНЬ большим, чтобы производить много энергии в течение долгого времени. Между тем, характерный размер звезды равен:

$Number Protons=(frac{hc}{G})^{frac{3}{2}} frac{1}{m^3_p} approx 10^{57}$

Убирая безразмерные коэффициенты мы видим, что масса протона входит в третьей степени, и 57=3*19, то есть это дает нам уже три порядка.

Черные дыры

Мне было интересно получить для гравитации бОльший порядок. Для этого обратимся к черным дырам. Пусть у нас есть черная дыра радиусом R. Интересно, что в единицах Планка масса и радиус черной дыры связаны простым соотношением

Через какое-то время черная дыра излучит все через излучение Хокинга и исчезнет. Для этого понадобится

$t_{ev}=5120pi M^3$

Таким образом, все, что составляло раньше черную дыру будет переработано в расширяющийся шар излучения радиусом Tev (умножить на скорость света, которую мы полагаем равной 1). Можно сказать, что плотность материи уменьшилась в

$K=frac{T^3_{ev}}{R^3_s}={(frac{5120pi M^3}{2M})}^3=16 777 216 000{pi}^3 M^9$

Забавно, что мы уже получили большой коэффициент - причем исключительно математическими методами. Интересно что это знакомая программистам степень двойки, правда умноженная на 1000.

Масса же звезды в планковских массах пропорциональна обратному квадрату массы протона, то есть (2*9=18)

$K=frac{16 777 216 000{pi}^3}{m^{18}_p}$

Здесь мы используем 18 порядков от 19 степени, то есть где то 10**342. С учетом большого коэффициента мы получили больше 10**353. Кстати, по поводу начальной 'плотности' материи внутри черной дыры - это условность, там даже пространство неевклидово, так что формула объема шара не работает.

Слабое взаимодействие

Тем не менее большие числа можно найти и там, где гравитации нет. Возьмем нейтрон. Его радиус

$R_n=0.8 * 10^{−15} m$

Внутри него кварки, как ошпаренные, носятся взад и вперед почти со скоростью света, причем около Rn их резко отбрасывает назад. Таким образом, кварк меняет направление

$N=frac{c}{2R_n}=1.87 * 10^{23}$

раз в секунду (пока наше число не является безразмерным). Таким образом, за время жизни нейтрона таких изменений направления порядка 10**26, и только одно из них идет не по плану! Впечатляющий успех для частицы, которую мы называем нестабильной!

Распад нейтрона происходит благодаря слабому взаимодействию, и гравитация тут ни при чем.

Если взять протон, то, если он распадается, то его время жизни не меньше 10**33 лет. Значит у протона 'ошибки' возникают не чаще, чем одна на

$approx 3 * 10^{68}$

И снова - здесь нет никакой гравитации (если протон распадается благодаря вмешательству гравитации, то вероятность этого процесса еще на много порядков ниже).

А какие большие числа известны вам?

Автор: Дмитрий EvilDBA

Источник