Кинематическая задача из олимпиады «Росатом» за 2020-21 учебный год

Не вдаваясь в обсуждение методики олимпиадной подготовки школьников и школьного преподавания физики, приведем решение этой задачи с помощью регулярных методов.

Введем систему координат , где — точка крепления нити к потолку, а ось проходит через точку отрыва нити от диска. Эту точку мы обозначим через .

Скорость точки диска, которая совпадает в данный момент времени с точкой , равна сумме относительной (относительно системы ) и переносной скоростей:

Относительная скорость точки диска равна нулю, поскольку в системе диск катится по оси без проскальзывания: . Поскольку система поворачивается вокруг точки , переносная скорость перпендикулярна оси .

Таким образом, скорость точки диска направлена вдоль радиуса, соединяющего центр диска с точкой . Аналогично, скорость точки направлена вдоль радиуса, соединяющего центр диска с точкой . Соответственно мгновенный центр скоростей (МЦС) диска лежит в точке пересечения прямых, содержащих отрезки нитей.

Однако мы не будем использовать МЦС, а решим задачу с помощью формулы Эйлера. Мотивация такого выбора чисто методическая: общие теоремы важнее их частных случаев.

Введем систему координат , где — центр диска, ось проходит через точку , а ось направлена перпендикулярно плоскости рисунка на зрителя.

В силу сделанных замечаний, скорости точек диска и имеют вид:

Здесь — параметры, подлежащие определению.

Угловая скорость диска известна: .

Отметим, что

и

Подставляя равенства (1) и (2) в формулу Эйлера

и приравнивая коэффициенты при базисных векторах, найдем:

Из этих двух равенств нам понадобится только второе:

Таким образом, . Из этого следует, что скорость направлена к центру диска, противоположно направлению, указанному на рисунке.

Подставляя (3) в (1), мы находим

Скорость центра диска определяется по формуле Эйлера:

Подставляя в эту формулу полученные выше результаты, находим: