Главная

Когда теорема Коши — Ковалевской «отказывает», а решение всё равно есть

2026-05-09 в 15:59, admin, рубрики: Задача Коши-Ковалевской, урчп

Пример Ковалевской заключается в следующем. Рассмотрим задачу Коши для уравнения в частных производных:

$u_t=u_{zz},quad uvert_{t=0}=frac{1}{1+z^2},quad t,zinmathbb{C}.$

Легко показать, что эта задача не обладает аналитическим решением в окрестности начала координат. Говоря точнее, она не имеет решения, раскладывающегося в сходящийся в некотором бикруге ${|z|<r_1, |t|<r_2}inmathbb{C}^2$ степенной ряд вида

$u(t,z)=sum_{k,jinmathbb{Z}_+}u_{kj}t^kz^j,quad mathbb{Z}_+={0,1,2,ldots}.$

Ковалевская построила этот пример как иллюстрацию того, что если условия теоремы Коши — Ковалевской не выполнены, то задача Коши может не иметь аналитического решения.

Подробное изложение и доказательство классической теоремы Коши — Ковалевской можно найти в монографии В. И. Смирнова: Курс высшей математики. Том IV. Часть 2. М.: Наука, 1981.

Казалось бы, на этом можно поставить точку…

Рассмотрим множество функций

$X=left{ v(z)=sum_{k=0}^infty v_k z^k mid |v|=sup_{k ge 0} {k! |v_k|} < infty right}.$

Это подпространство в линейном пространстве целых функций переменной . Функция называется целой, если её ряд Тейлора в любой точке (или, что эквивалентно, в начале координат) имеет бесконечный радиус сходимости.

Пространство является банаховым относительно указанной в его определении нормы.

Теорема. Задача

$u_t=u_{zz}, quad uvert_{t=0}=hat{u}=sum_{k=0}^infty hat{u}_k z^k in X qquad (1)$

имеет и притом единственное решение в пространстве целых функций переменных .

Эффект состоит в том, что если мы сузим пространство начальных условий, то теорема существования и единственности «возвращается».

Доказательство теоремы.

Подставим ряд

$u(t,z)=sum_{k=0}^infty u_k(t) z^k$

в уравнение (1). Приравнивая члены при одинаковых степенях , получим задачу Коши для бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

$dot{u}_k=(k+2)(k+1)u_{k+2}, quad u_k(0)=hat{u}_k, quad k=0, 1, 2, ldots.$

Эту систему можно упростить с помощью замены :

$dot{w}_k=w_{k+2}, quad w_k(0)=k! hat{u}_k. qquad (2)$

Заметим, что последовательность ${k! hat{u}_k}$ принадлежит пространству — это банахово пространство ограниченных последовательностей , $p_i in mathbb{C}$ , с нормой .

Правая часть системы (2) представляет собой ограниченный линейный оператор, который переводит последовательность в последовательность .

Таким образом, (2) – это задача Коши для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченным оператором на банаховом пространстве .

По известной теореме из функционального анализа, голоморфное решение этой системы ${w_k(t)}_{k in mathbb{Z}_+}inell_infty$ существует и единственно в любом круге .

Эту теорему можно найти во втором томе курса «Анализ» Лорана Шварца. Заметим только, что доказывается она точно так же, как и её конечномерная версия, — с помощью принципа сжатых отображений.

Теорема доказана.

Автор: drzewo

Источник