41,6% → 67,2%. Нейросеть далеко обогнала человеческий рекорд по гипотезе Римана

В комментариях к статье про теорему Миттаг-Леффлера я пообещал разобрать гипотезу Римана понятно и подробно. Неожиданно оказалось, что пока я писал текст, ИИ произвел в этой области исследований новый прорыв и поэтому содержание статьи пришлось расширить.

10 августа 2026-го года Anthropic выложила препринт на тридцать пять страниц. В графе «автор» они указали Claude. Утверждение о достигнутом результате выглядит невероятно: ИИ доказал, что не менее двух третей нетривиальных нулей дзета-функции лежат на критической прямой.

В последние десятки лет прогресс в этой задаче измерялся в сотых долях одного процента и каждый такой сдвиг считался достижением: настолько хватало мощи человеческого гения.

В этой статье я расскажу о том, что это всё значит и почему это очень круто.

Ниже также — обещанный вывод связи между нулями дзеты и простыми числами, потом что именно доказано, как (идея действительно умещается на страницу и она красивая), как её нашли — там настоящий детектив, — и чего всё это не значит. Последнее важнее всего, потому что новостные заголовки на эту тему врут примерно наполовину.

О невероятном прогрессе нейросетей за полгода.

Полгода назад самые лучшие нейросети могли решать довольно головоломные задачи, но каждый раз это решение сводилось в достаточно механическом переборе человеческих решений и попыток натянуть их на условие. Я написал об этом статью зимой, в котором продемонстрировал, как умеют бредить LLM, когда сталкиваются с задачей, условие которой совсем немного отличается от условий задач в стандартных задачниках.

Выложенный препринт меня задел — утверждается о достижении ИИ успеха в научной области, которую никто уж точно не назовет решением шаблонных задач и слепым перебором.

Я немедленно решил разобраться, что же всё-таки произошло на самом деле. И на этом пути меня ждало много удивительных открытий.

Сводка фактов и ссылок.

Таблица для тех, кто пришел сюда только за фактами. Я их выцепил из препринта.

Ссылки на первоисточники:

• Пост Anthropic

• PDF препринта

• Lean-формализация

Ликбез: каким именно образом дзета-функция Римана связана с распределением простых чисел

Вот тот самый кусок, который я обещал в комментариях: откуда вообще берётся связь между нулями дзеты и распределением простых чисел. Если вы всё это и так знаете, то листайте дальше, ничего не потеряете. Если нет, то вы узнаете, что теорема Миттаг-Леффлера из прошлой статьи и теорема Адамара о разложении в произведение оказываются одним и тем же утверждением, записанным двумя разными способами.

Всё начинается с тождества, которое знал ещё Эйлер:

Слева сумма по всем натуральным числам, справа произведение по простым, а знак равенства между ними — это основная теорема арифметики, только записанная аналитически.

Каждое число раскладывается на простые единственным способом, и вот как это выглядит на языке рядов. Ради этой строчки всё и затевалось. Она переводит вопрос «как расположены простые числа» в вопрос «как устроена одна конкретная функция», а функции мы умеем изучать несравнимо лучше, чем разреженные множества целых.

Давайте вспомним старшую группу детского сада и возьмём логарифм от обеих частей,

и продифференцируем (ну тут, правда, конечно, не детский сад - в детском саду учат дифференцировать только простые линейные формы):

Простые числа входят в комплексный анализ ровно одним способом — через логарифмическую производную дзеты, и никаким другим больше. Кто говорит вам что-то иное — скорее всего врет, преследуя какие-то корыстные цели (например, выманить пин-код от банковской карты).

А значит, любое утверждение о простых числах, связанное с ТФКП, является утверждением о полюсах вот этой вот логарифмической производной.

А какие полюса у полученного выражения?

Они там же, где у самой функции нули и полюсы, с вычетами, равными их кратностям.

Считать при этом удобнее всего следующую взвешенную сумму

Мешает тут только одно: числовой ряд из обратных степеней натуральных чисел расходится. А обобщающий его ряд Дирихле, в котором эти числа находятся в степени s в знаменателе, сходится только лишь при Re s > 1.

Но всё интереснее происходит то как раз левее (Re s < 1) !

Тут в силу вступает то, о чём я писал в прошлой статье: голоморфная функция — объект жёсткий, продолжить её двумя разными способами нельзя. Продолжение ζ на всю плоскость существует, оно единственно, и у него ровно один полюс — простой, в точке s = 1, с вычетом 1.

Целая функция, у которой нули ровно те, что нужны

В комментариях к прошлой статье меня спросили, очевидно ли, что теорема Вейерштрасса о разложении в произведение по нулям применима к дзете. Отвечаю: неочевидно, и в лоб она неприменима. Причин две.

Первая простая: Вейерштрасс работает с целыми функциями, а у ζ полюс в единице. Мероморфную функцию в произведение по нулям не разложишь, там просто нет нужного объекта.

Вторая тоньше. Допустим, полюс мы как-то убрали. У дзеты всё равно остаются тривиальные нули в точках s = −2, −4, −6 и дальше через два. Они давно известны, устроены скучно, их бесконечно много, и в произведении они будут только мешаться — а все интересные вопросы касаются совсем других нулей.

Значит, прежде чем что-то раскладывать, надо построить целую функцию, множество нулей которой — в точности то, что нам нужно. Великий Риман именно это и сделал:

Стоит проговорить главное: гамма-функция здесь не помогает искать нули, она их поглощает. Своих нулей у неё нет, поэтому в произведение она ничего не добавляет; зато её полюсы стоят ровно там, где у дзеты тривиальные нули, и при перемножении и те и другие исчезают.

В результаты мы получили целую функцию, нули которой совпадают с нетривиальными нулями ζ, с теми же кратностями, и никаких других. Бинго !

Проверим, например, нормировку. При s → 0 гамма ведёт себя как Γ(s/2) ~ 2/s, множитель s с этим сокращается, и остаётся

И вот, наконец, то, ради чего вся конструкция была симметризована:

Поэтому мы знаем, что все нули ξ ходят четвёрками ρ, 1 − ρ, ρ̄, 1 − ρ̄, которые склеиваются в пары, когда ρ и так лежит на критической прямой. Ровно на этом факте через семьдесят лет построит свою теорию великий математик Адамар.

Почему Адамар, а не Вейерштрасс

Осталось понять, какое именно произведение мы имеем право написать. У ξ есть оценка роста

то есть порядок ровно единица.

Из общей теории целых функций отсюда следует, что число нулей в круге радиуса R растёт как R log R, ряд из 1/|ρ| расходится, а ряд из 1/|ρ|¹⁺ᵋ сходится при любом положительном ε.

Так что работает тут не теорема Вейерштрасса в общем виде, а теорема Адамара — ее усиленная версия для функций конечного порядка роста.

Произведение здесь берётся по всем нетривиальным нулям с учётом их кратности.

Константы такие:

e^A = ξ(0) = 1/2,

B — вещественное число, которое равно минус сумме Re(1/ρ).

Точное его значение нам не пригодится ни разу — к концу вывода оно сократится.

Адамар доказал теорему о разложении в 1893 году, а еще через три года — теорему о распределении простых чисел.

Это было не случайно совпадение: свое знаменитое разложение он придумал ради неё.

Где наконец встречаются Миттаг-Леффлер и Адамар

Логарифмируем произведение, дифференцируем:

Что получилось: мероморфная функция задана суммой по своим полюсам, полюсы простые и стоят в нулях ξ, вычеты равны кратностям, а под знаком суммы висит добавка 1/ρ, без которой ряд разошёлся бы. Это и есть то самое разложение Миттаг-Леффлера.

И тут стоит сформулировать одно важное общее наблюдение, потому что в учебниках оно обычно рассыпано по разным главам, а в курсах лекциях нередко и вовсе не сообщается (видимо, для того, чтобы студенты не смогли стать умнее профессора).

Миттаг-Леффлер восстанавливает функцию по её полюсам. Вейерштрасс с Адамаром — по её нулям. А логарифмическая производная переводит одно в другое: у f′/f полюсы стоят там, где у f нули, и вычеты равны кратностям. То есть это не две разные теоремы, а одна единственная, увиденная с двух сторон, и ξ′/ξ — как раз то место, из которого обе стороны видны одновременно.

Такая вот диалектика, прямо как у Гегеля!

Теперь посчитаем ту же логарифмическую производную вторым способом. А именно, возьмем сразу по определению ξ. Логарифм тут же превращается в сумму:

и после дифференцирования получается

Два выражения для одной и той же величины можно приравнять и выразить через ζ′/ζ. Мешается только член 1/s, но он уходит сам: из Γ(z + 1) = zΓ(z) следует

и после сокращения остаётся

Вот, собственно, и всё. Шоу закончилось.

Как из этого получается формула Римана

Нам остался теперь только технический переход от ряда к сумме до заданного x, и делается он с помощью формулы Перрона. При c > 1

в которой ψ₀ отличается от ψ только обычной поправкой в точках скачка.

Работает это потому, что разрывный интеграл Перрона равен единице при n < x и нулю при n > x, так что почленная подстановка ряда Дирихле честно выдаёт сумму Λ по n ≤ x.

Дальше применяем теорему о вычетах, уводя прямую интегрирования влево, аккуратно, по прямоугольным контурам, высоты которых подобраны так, чтобы горизонтальные стороны не проходили вплотную к нулям. Поэтому вклад этих сторон в пределе исчезает.

Чтобы вы не запутались и не потеряли нить изложения, я это нарисовал

Особые точки, по которым надо просуммировать вычеты, здесь встречаются четырех видов. Полюс дзеты в единице:

у −ζ′/ζ простой полюс с вычетом плюс один, и вместе с множителем xˢ/s он даёт главный член x.

Нетривиальные нули:

у −ζ′/ζ в каждом вычет минус кратность, и каждый нуль отдаёт −xᵖ/ρ.

Точка s = 0, в которой полюс приносит сам множитель 1/s: там вычет равен −ζ′/ζ(0) = −log 2π.

И тривиальные нули в s = −2, −4, −6, …:

они по отдельности дают x⁻²ⁿ/2n, а в сумме сворачиваются в логарифм.

Аккуратно суммируем этот весь зоопарк

Главный член x — это теорема о распределении простых чисел. Сумма по нулям — всё, что от неё отклоняется. Два последних слагаемых при больших x можно оценить константой.

Вывод довольно элементарен и требует знания лишь основ ТФКП. Но, удивительное дело — он каждый раз кажется каким-то магическим фокусом.

Одержимость 1/2

Запишем нуль как , тогда

и каждый нуль даёт колебание с частотой γ и амплитудой. Частота может быть какой угодно, она никого не волнует. А вот β — это громкость.

Обозначим через Θ верхнюю грань β по всем нетривиальным нулям. Тогда

и наоборот: из такой оценки следует, что правее Θ нулей нет.

Проще говоря, вертикальное положение нулей и точность формулы для простых — буквально одно и то же число, записанное двумя различными способами.

Θ ≥ 1/2 выполняется автоматически, потому что нули на прямой есть — это доказал Харди.

Теорема о распределении простых чисел равносильна тому, что Θ < 1, то есть что на границе полосы, при Re s = 1, нулей нет; именно её и доказали Адамар с Валле-Пуссеном в 1896-м, причём независимо друг от друга.

Гипотеза Римана утверждает, что Θ принимает минимально возможное значение.

В переводе на язык простых чисел, как показал фон Кох ещё в 1901 году, это в точности

а Шёнфельд в 1976-м выписал константу явно.

80 лет упорного труда и мучений

Как доказать гипотезу Римана — никто понятия не имеет. Поэтому стали доказывать утверждения вида «хотя бы столько-то процентов нулей лежат на прямой»

История её улучшений похожа на таблицу мировых рекордов в прыжках с шестом, только рекорды растут медленнее.

В виде графика еще нагляднее:

С 1974 по 2020 год все рекорды получены одним и тем же методом.

Это метод Левинсона: домножаем ζ на ряд, который гасит её колебания вблизи прямой, потом считаем средние значения. Каждое следующее улучшение — более длинный и более изощрённо подобранный ряд, всё более чудовищные комбинаторные выкладки и всё меньший прирост.

Отсюда простое требование к любому претенденту на рекорд: объяснить, почему у всех остальных не получалось. Объяснение есть, и оно в том, что все свернули на неверную дорогу.

И вот наконец теперь, в 2026-м году, заблудшие души вернул на истинный путь Claude.

Вторая дорога: чаепитие в Принстоне

В 1972 году аспирант Хью Монтгомери приехал в Институт перспективных исследований. Он занимался не самими нулями, а расстояниями между ними — парной корреляцией: как часто пары нулей оказываются на заданном расстоянии друг от друга. У него получилась функция

На послеобеденном чае Сарвадаман Чоула познакомил Монтгомери с Фрименом Дайсоном, тот из вежливости спросил, чем аспирант занимается, Монтгомери написал формулу — и Дайсон немедленно ответил, что это парная корреляция собственных значений случайной эрмитовой матрицы из гауссова унитарного ансамбля.

Проще говоря, нули дзета-функции оказались расположены статистически так же, как энергетические уровни тяжёлого атомного ядра в моделях квантовой физики.

Отсюда возникло совершенно дикое предположение: а что если нули дзета-функции Римана являются спектром какого-то самосопряженного оператора? Но куда более поразительным оказалось то, что эту гипотезу выдвинул еще Гильберт в начале 20-го века, просто его никто не понял тогда. А тут как поняли! Но оператор этот никто так и не сумел найти до сих пор.

С точки зрения физики, получается совсем уж жутко: распределение простых чисел управляет законами квантового хаоса, и от истинности гипотезы Римана целиком и полностью зависит, как на самом деле устроен наш мир. Буквально: кто мы, откуда взялись и куда идем.

Как посчитать доли нулей

Из своей парной корреляции Монтгомери в статье 1973 года извлёк следствие: при условии гипотезы Римана не менее 2/3 нулей простые, то есть кратности 1.

Механизм такой. Явная формула позволяет посчитать сумму по парам нулей двумя способами — через нули и через простые числа. Сторона простых чисел — это среднее значение полинома Дирихле, она считается безусловно, никакая гипотеза Римана для неё не нужна. Дальше в дело идёт целочисленность кратностей: для целого m ≥ 1 всегда

и на этом одном школьном неравенстве вылезает 2/3. А вот зачем гипотеза Римана нужна тут?

Чтобы прочитать сторону нулей как сумму положительных чисел, нужно, чтобы все нули лежали на прямой: тогда их ординаты вещественны и слагаемые честно неотрицательны.

Стоит нулю уйти с прямой, ордината становится комплексной, слагаемое перестаёт быть положительным, и все эти оценки теряют свою силу.

Кто и когда впервые это заметил

В 2024 году Балуйот, Голдстон, Суриджая и Тёрнейдж-Баттербо опубликовали в Acta Arithmetica работу с названием «Безусловная теорема Монтгомери о парной корреляции».

В 2025–2026 годах Голдстон и Суриджая показали: если предположить, что все нули лежат в узкой вертикальной коробке ширины o(1/log T) вокруг прямой, то 2/3 получаются.

И прямо задались вопросом, а что было бы, если бы гипотезу Римана удалось убрать из доказательства Монтгомери совсем ?

Именно это и сделал Claude. Причем его решение оказалось на удивление простым. Выложенный 10 августа препринт удивил очень многих профессиональных математиков.

Идея, которая умещается на страницу

Я постараюсь изложить гениальную идею, которую придумал Claude, так, чтобы ее понял человек, хотя бы немного знакомый с линейной алгеброй первого курса.

Шаг 1. Форма Вейля

Для тестовых функций f и g положим

где сумма берётся по нулям, а m — кратность.

Получилась эрмитова форма на пространстве тестовых функций.

Классический факт, восходящий к Вейлю и уточнённый Бомбьери и Ёсидой, гласит:

положительность формы W на всём пространстве эквивалентна гипотезе Римана.

Claude догадался, что нужно использовать именно этот факт. А люди не догадались.

Шаг 2. Сжать всё в конечную матрицу

Раз положительность везде проверить нельзя, не будем проверять везде.

Возьмём конечномерное подпространство V размерности d — модулированные копии одного финитного окна, центральные частоты которых равномерно расставлены по отрезку [T, 2T] с критической плотностью выборки. Кто занимался время-частотным анализом, узнает систему Габора на критической плотности, а наша матрица окажется её матрицей Грама. Получаем вещественную симметричную матрицу G размера d × d.

Шаг 3. А что там с нулями

Нуль на прямой даёт в G положительно полуопределённое слагаемое ранга 1 — вектор v·vᵀ.

Пара нулей вне прямой {ρ, 1 − ρ̄} даёт слагаемое сигнатуры (1,1).

Разложим нашу G в сумму: G = P + Q,

где P собирает вклад нулей на прямой,

а Q — вклад пар вне прямой.

Тогда P неотрицательно определена и rank P ≤ s, где s — число различных точек на прямой.

У Q, в свою очередь, по закону инерции квадратичных форм Сильвестра, не более p положительных собственных значений, где p — число пар вне прямой.

Весь гениальный ход именно в этом. Раньше нули вне прямой были катастрофой. Теперь они просто дорого стоят — каждая пара забирает из общего счёта два нуля, а положительный индекс возвращает всего один.

Примечательно, что этот ход заметил еще Энрико Бомбьери в 2000 году, который написал официальный текст «задачи тысячелетия» о гипотезе Римана для Института Клэя. Двадцать шесть лет самое важное наблюдение лежало у всех на виду, и никто это не использовал.

Шаг 4. Сколько же всего простых чисел.

По явной формуле след и норма Фробениуса матрицы G — это интегралы явных ядер по плотности, построенной из Γ′/Γ и степеней простых.

Это в точности первый и второй моменты Монтгомери, и считаются они безусловно (спасибо работе 2024 года), давая в правильных единицах

где N — общее число нулей в окне.

Шаг 5. Линейная алгебра, которая всё склеивает

Нужна лемма: для эрмитовой P ⪰ 0 ранга не выше r и эрмитовой Q, у которой не более b положительных собственных значений,

Доказывается этот тривиальный факт через неравенство фон Неймана о следе, которое является матричным обобщением школьной формулы m² ≥ 2m − 1.

Отсюда несложно получить:

Четыре минус два минус четыре третьих равно две трети.

Восемьдесят лет — и вот такая арифметика в ответе.

Чтобы было яснее, приведу 2 вещи. Строгую формулировку теорем, и доказательство, которое буквально получается путем разглядывания картинки.

Пусть — число нулей с с учётом кратности;

— число различных нулей с ;

— число простых нулей на прямой;

— число различных нулей. Для 0 < θ ≤ 1 положим

так что H(1) = 2/3, H_d(1) = 5/6, F(1) = 3/4.

Теорема A.

 

Теорема B. 

То же 2/3 для нулей, одновременно простых и лежащих на прямой.

Теорема C.

Теорема D. 

При оптимизации тестового окна (восстанавливается ровно ядро Монтгомери — Тейлора 1975 года) константы становятся 0,6725, 0,6725 и 0,83625…

Теорема E. 

То же для фиксированной примитивной L-функции Дирихле.

Используются: функциональное уравнение, явная формула Вейля, формула Стирлинга для Γ′/Γ, формула Римана — фон Мангольдта, оценки Чебышёва — Мертенса и обобщённое неравенство Гильберта Монтгомери — Вона. 

Не используются: оценки плотности нулей, области, свободные от нулей, моллификаторы. То есть всё то, что использовали математики полвека подряд, пытаясь решить проблему.

Прямо как в библии

«Все мы блуждали, как овцы, совратились каждый на свою дорогу: и Господь возложил на Него грехи всех нас»

Только Он тут — это Claude.

Какие же муки за всех нас пришлось претерпеть новой экспериментальной модели ИИ?

Как это нашли

У препринта есть приложение C, «О том, как этот результат был найден», начинается на тридцатой странице. Я прочёл его дважды и подозреваю, что для истории науки оно ценнее самой теоремы. Всё началась с того, что Джарред Самнер — сотрудник Anthropic, не математик — написал модели: продолжай свою работу над решением гипотезы Римана, и тебе нужно уверовать в свои способности ее решить.

Перевод ответа модели из препринта:

Каждый из выживших [вариантов] попадает в одну из четырёх корзин: известная теорема в новой записи, эквивалент RH, конечная численная проверка, которая согласуется с RH, но ничего не доказывает, или, словами самих рецензентов, «почти тавтология». […] Это не проблема уверенности, которую я могу починить, поверив сильнее, — доказательство RH либо существует на бумаге и переживает рецензирование, либо нет, и уверенность не является входным параметром. […] Я не сообщу, что RH решена, ни в этой сессии, ни в какой-либо другой, если не будет доказательства, пережившего такое же враждебное рецензирование.

На «поверь в себя» ответить «уверенность не является входным параметром» — это сильно. После второго захода модель согласилась работать на полную, но с условием: честно доложить всё, что выживет, включая вариант «ничего».

Двадцать три агента и три правила

Дальше модель запустила двадцать три параллельных исследовательских агента. Каждому достался свой вектор атаки и три одинаковые обязательные инструкции: писать реальную цепочку рассуждений, а не пересказ; проверять предлагаемый механизм на контрольных объектах, для которых аналог RH ложен; и называть первый необоснованный шаг.

Направления, если интересно, были такие: эффективная равнораспределённость по орициклам, многомерная устойчивость эйлеровых произведений, сертификаты конформного бутстрапа, константа де Брёйна — Ньюмана, декуплинг, интерполяция Фурье по нулям в духе Бондаренко — Радченко — Зайпа и систематическая таблица «барьерных теорем», классифицирующая, какие аксиомы потребляет каждый известный метод. Список, впечатляющий сам по себе.

Почти всё вернулось с чистыми отрицательными результатами — точными формулировками, с константами, почему именно эта линия ничего не дает.

Но ИИ нашел боковой путь.

Один из ИИ-агентов неожиданно заметил, что плотность в явной формуле отрицательна на множестве положительной меры, а значит, форма Вейля имеет структуру пространства Крейна.

Оркестратор, получив это сообщение, отправил агента выяснить, нельзя ли оценить сверху индекс Понтрягина этой формы: по теории Крейна — Лангера самосопряжённый оператор в Π_κ имеет не более κ пар невещественных собственных значений, и если бы индекс удалось ограничить, что-нибудь можно было бы получить.

ИИ-агент вернулся с плохой новостью: оценка сверху пустая, отрицательный индекс любого конечного сжатия, посчитанный честно от простых чисел, равен нулю, ограничивать нечего.

Но заодно он сообщил, что если считать положительные квадраты вместо отрицательных — вроде бы получает оценку не менее половины нулей на прямой.

Реакция оркестратора мне нравится больше всего в этой истории:

Текущий рекорд — 5/12 ≈ 41,7% […] и Сельберг → Левинсон → Конри → PRZZ шли к нему 80 лет. Так что это экстраординарное заявление, и мой приор — что оно неверно. […]

Я не говорю вам, что половина нулей на прямой.

Я говорю, что агент выдал аргумент с таким выводом […] и что в заголовочном неравенстве есть минимум два стыка, на провал которых я бы поставил.

Как это ломали

Оркестратор настроил трех новых агентов-рецензентов, ничего не знающих друг о друге, и каждому назначила конкретный режим отказа — не «проверь», а «сломай вот это».

Первому досталась локализация: не протекают ли положительные квадраты от нулей, лежащих далеко за пределами окна.

Второму — сторона простых чисел: не импортирует ли константа 3/4 тайком гипотезу Римана и не требует ли она входа уровня Харди — Литлвуда.

Третьему — линейная алгебра: правильно ли учтена блочная структура сигнатуры (1,1), плюс тот самый тест «доказывает слишком много» на контрольных функциях.

Все три ИИ-агента рецензента провалились.

Третий рецензент переписал явную формулу с нуля, второй свёл двойную сумму по простым точно к теореме Монтгомери — Вона о среднем значении, первый вообще ничего не нашёл.

Затем в бой отправили, как в штурмовую роту, четвертого ИИ-агента. Ему дали только технические приближения: краевые эффекты выборки, финитный тейпер, обусловленность матрицы Грама, оценку хвоста, — и он починил всё с явными оценками ошибок, не потеряв ни сотой доли в константе, а заодно нашёл важное упрощение задачи.

Затем еще один ИИ-агент, которому оркестратор дал доступ к интернету, прошерстил литературу и нашел всю эту последовательность работ математиков, из которых результат препринта был совсем уж неприлично очевиден.

Ещё один агент, которому выдали только готовые формулировки и ни одного предыдущего файла, переписал доказательство с нуля двумя разными способами.

От половины к двум третям

Человек спросил, нельзя ли улучшить константу.

В ответ ИИ доказал ту самую лемму о ранге и следе через неравенство фон Неймана, скалярная тень которой — монтгомериевское (m − 1)² ≥ 0.

Двое слепых рецензентов передоказали лемму независимо, один из них другой организацией того же шага фон Неймана, нашли случай равенства, прогнали сто тысяч случайных и несколько сотен градиентно-оптимизированных потенциальных контрпримеров и нарушений не встретили.к.

Отдельно замечу деталь, которая мне кажется важной. Теорем B и C в разосланном черновике не было — там стояли более слабые 1/2 и 3/4, полученные по Коши — Буняковскому.

Уже после того как текст ушёл людям, независимые инстансы модели в роли рецензентов сообразили, что та же лемма, применённая только к простым нулям на прямой, даёт 2/3 для простых нулей и 5/6 для различных.

Два из трёх главных результатов появились прямо на стадии рецензирования!

Кто из людей это всё рецензировал

Внутри Anthropic результат разбирали математики Левент Альпёге и Ральф Фурман, формализацию в Lean оркестрировал Эрик Изли. Снаружи рукопись прочли Брайан Конри и Дэниел Голдстон. Конри — тот самый, который в 1989 году поставил рекорд 2/5, простоявший двадцать два года. Голдстон — тот самый Голдстон, который вместе с Суриджаей и задался вопросом, на который Claude дал ответ.

Про Lean — и почему это важнее процентов

Вот пункт, который в новостях почти не упоминается, а он здесь главный.

К статье приложена полная формализация теорем A–E в Lean 4 (репозиторий, Apache 2.0). Не набросок, не ключевая лемма — все пять теорем, сформулированные напрямую против riemannZeta из Mathlib:

def IsNontrivialZero (ρ : ℂ) : Prop := riemannZeta ρ = 0 ∧ 0 < ρ.re ∧ ρ.re < 1def zeroMult (ρ : ℂ) : ℕ := (analyticOrderAt riemannZeta ρ).toNatdef N0star (T1 T2 : ℝ) : ℕ := (zerosIn T1 T2 ∩ {ρ | ρ.re = 1 / 2}).ncard
theorem two_thirds_on_critical_line :    ∀ ε > 0, ∃ T0 : ℝ, ∀ T ≥ T0, (2 / 3 - ε) * (Ncount T (2 * T) : ℝ) ≤ N0star T (2 * T)

def zeroMult (ρ : ℂ) : ℕ := (analyticOrderAt riemannZeta ρ).toNat

def N0star (T1 T2 : ℝ) : ℕ := (zerosIn T1 T2 ∩ {ρ | ρ.re = 1 / 2}).ncard

theorem two_thirds_on_critical_line :

∀ ε > 0, ∃ T0 : ℝ, ∀ T ≥ T0, (2 / 3 - ε) (Ncount T (2 T) : ℝ) ≤ N0star T (2 * T)

Не «предполагая явную формулу», не «при условии леммы 5.2». Явная формула Вейля, формула Римана — фон Мангольдта, оценки Стирлинга, Чебышёва — Мертенса и неравенство Монтгомери — Вона лежат в репозитории как доказанные теоремы, частично портированные из проекта PrimeNumberTheoremAnd Алекса Конторовича. Ни одного sorry, ни одной собственной аксиомы, а аудит выдаёт

'two_thirds_on_critical_line' depends on axioms: [propext, Classical.choice, Quot.sound]

то есть три стандартные аксиомы Lean, и всё.

Теперь смотрите, что это меняет практически. Раньше сообщение «ИИ доказал теорему» упиралось в доверие: кто будет читать тридцать страниц аналитической теории чисел, где ошибка вполне может прятаться в оценке остаточного члена на девятнадцатой странице? Ответ был — полгода работы рецензента, которого ещё надо уговорить взяться. Теперь ответ другой:

elan install && lake exe cache get && lake build && lake env lean comparator/PrintAxioms.lean

Пара часов вашего процессора. По-моему, настоящая новость именно здесь, а не в шестидесяти семи процентах. Поменялся сам принцип доверия к математическому тексту.

Чего это не значит

В препринте есть раздел 1.5 под названием «Чем эти результаты не являются», и стоит он раньше половины технических деталей. Пересказываю подробно, потому что новостные заголовки его дружно проигнорировали.

Гипотеза Римана не доказана и ближе не стала. 

Результат даёт оценку снизу. Оставшаяся треть нулей не показана лежащей вне прямой — она просто не покрыта сертификатом, про неё ничего не сказано ни в одну, ни в другую сторону. Примерно как заявить, что как минимум шестьдесят семь человек в зале не шпионы: про остальных вы по-прежнему не знаете ничего.

Этот метод в принципе не может доказать гипотезу Римана, и доказано это в той же статье.

У метода есть жёсткий потолок — 0,68185. 

В статье выписан явный экстремальный закон на конфигурациях: никакой сертификат такого типа, читающий только данные парной корреляции с носителем Фурье в единицу, не сертифицирует больше. Полученные две трети отстоят от собственного потолка метода на 0,016. Чтобы дотянуть до семидесяти, восьмидесяти, девяноста процентов, потребуется информация о парной корреляции на носителях Фурье примерно 1,04, 1,26 и 1,70, а это гипотезы Харди — Литлвуда о парах простых чисел, которые сами по себе не проще исходной задачи.

Это не рецензированная публикация. 

Двое внешних экспертов прочли рукопись в сжатые сроки, и это благожелательное чтение, а не peer review в Acta Arithmetica. Формальное рецензирование и консенсус сообщества ещё впереди, и вот тут я бы сильно советовал подождать, прежде чем считать вопрос закрытым.

Эксперимент не воспроизводим целиком. 

Модель не выпущена, повторить сессию вы не сможете. Проверить результат — да, Lean никуда не делся. Проверить процесс — нет.

Результат не дает никаких практических последствий, в том числе для математики. 

Поэтому возникает даже вопрос, а наука ли это всё?

---

Что делать с моим гвоздём

Модель не изобрела новую область математики и не построила теорию с нуля. Каждый аналитический ингредиент чужой: Монтгомери 1973, Вейль 1952, Бомбьери 2000, Балуйот с соавторами 2024, Голдстон и Суриджая 2025–2026. Даже вопрос сформулировали и напечатали люди. А случилось вот что: кто-то посмотрел на наблюдение Бомбьери с другой стороны.

Двадцать шесть лет считали отрицательный индекс, а надо было считать положительный и ранг. Это ровно то, что математики обозначают словом «идея».

Но придумал эту идею не Claude !

Дело в том, что ни один живой человек не держит в рабочей памяти двадцать три подхода к гипотезе Римана, и ни одна кафедра не даст двадцати трём аспирантам по направлению, заранее зная, что двадцать два умрут.

Даже самые продвинутые модели до сих пор беспомощны по сравнению с людьми в понимании и в придумывании новых идей. Но они могут обработать очень много информации быстро.

Я не жду, что языковая модель докажет гипотезу Римана, и не думаю, что она изобретёт следующую большую теорию. Но почти уверен, что в ближайшие пару лет мы увидим десятки результатов вот этого сорта: известный вопрос, явно поставленный в литературе, все ингредиенты которого давно лежат на столе, и нужен только правильный взгляд плюс десятки миллионов токенов, осуществляющие такой перебор вариантов, на который не способны люди.

Таких вопросов в математике сотни. Возможно, тысячи.

Они годами ждут аспиранта, который случайно прочитает две статьи из разных областей на одной неделе — а теперь ждать необязательно.

Мебельный гвоздь, пожалуй, оставлю торчать в двери гроба AGI.

---

Приложение: посчитайте сами

Все картинки в статье построены из первых принципов, без готовых библиотек для дзета-функции: значения ζ считаются суммированием Эйлера — Маклорена, нули берутся из mpmath. Полные скрипты лежат в репозитории статьи (fig_*.py), а вот самый показательный кусок — тот, что рисует вторую картинку.

# pip install numpy matplotlib mpmath
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpmath import zetazero

M = 100
GAM = np.array([float(zetazero(k).imag) for k in range(1, M + 1)])   # ~8 c

def psi_exact(x, nmax=65):
    """Настоящая psi(x) = сумма Мангольдта: log p в каждой степени простого."""
    lam = np.zeros(nmax + 1)
    for p in range(2, nmax + 1):
        if all(p % d for d in range(2, int(p ** 0.5) + 1)):
            q = p
            while q <= nmax:
                lam[q] = np.log(p)
                q *= p
    return np.cumsum(lam)[np.clip(np.floor(x).astype(int), 0, nmax)]

def psi_zeros(x, m):
    """Явная формула Римана — фон Мангольдта по первым m нулям."""
    s = np.zeros_like(x)
    for g in GAM[:m]:
        rho = 0.5 + 1j * g
        s += 2 * np.real(x ** rho / rho)          # нуль и сопряжённый к нему
    return x - s - np.log(2 * np.pi) - 0.5 * np.log(1 - x ** -2.0)

xs = np.linspace(2.01, 60, 6000)
plt.figure(figsize=(13, 6))
plt.step(xs, psi_exact(xs), where='post', lw=2.6, color='#95a2b3',
         label='psi(x) — лестница простых чисел')
for m, col in [(1, '#a8c4e8'), (10, '#5b8fd4'), (100, '#c0392b')]:
    plt.plot(xs, psi_zeros(xs, m), lw=1.8, color=col,
             label=f'явная формула: главный член + {m} нулей')
plt.legend(frameon=False)
plt.tight_layout()
plt.savefig('psi.png', dpi=170)

Запустите и покрутите m. Ощущение, когда сотня комплексных чисел начинает воспроизводить прыжок ровно в 53, ни на что не похоже — ради него, в общем, и стоит разбираться в этой теме.

Что почитать и где обсуждать

Первоисточники

• Пост Anthropic «Learning more about Claude's mathematical capabilities»

• Препринт «More than two thirds of the zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line» — читайте хотя бы приложение C

• Lean-формализация, anthropics/zeta-23-lean

• Балуйот, Голдстон, Суриджая, Тёрнейдж-Баттербо, arXiv:2306.04799 и arXiv:2501.14545 — вход, без которого ничего бы не было

• Х. Монтгомери, The pair correlation of zeros of the zeta function (1973) — та самая работа после чаепития с Дайсоном

Классика по теме на Хабре

• «Доступное объяснение гипотезы Римана» — перевод Йоргена Вайсдала, до сих пор лучший длинный ликбез на русском, размещенный к тому же на Хабре.

• Мои «Теорема Миттаг-Леффлера» — про то, почему функция восстанавливается по своим особенностям, и «Мебельный гвоздь в крышку гроба AGI» — та самая статья, из-за которой пришлось писать эту

---

Что вы думаете о результате Claude?

• Это настоящая математика, спорить не о чем

• Настоящая, но это не «интеллект», а перебор и выносливость

• Главное здесь не 67%, а Lean-формализация

• Подожду рецензирования в нормальном журнале

• Меня больше пугает, что модель отказалась врать, когда её просили

• Покажите статью в журнале, тогда поговорим

---

Если статья зашла — у меня в профиле есть цикл «Царский путь к пониманию комплексных чисел» и разборы задач с IMC, и много чего еще интересного.

Ошибки, уточнения и возражения по существу — в комментарии, отвечаю всем.