О баллистической кривой

2026-04-29 в 14:31, admin, рубрики: динамические системы, дифференциальные уравнения, теоретическая механика

Баллистическая кривая — это траектория материальной точки, движущейся в сопротивляющейся среде под действием силы тяжести.

Основной пример баллистической кривой — это траектория дробины в атмосфере.

Сила сопротивления воздуха считается направленной против скорости материальной точки:

Чаще всего рассматриваются гипотезы квадратичного и линейного сопротивления. В этих случаях $f=c_1|mathbf{v}|$ и соответственно. Здесь — положительные постоянные. В обоих случаях система интегрируется в квадратурах. Существуют и другие случаи интегрируемости (см. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 1. М.: Физматлит, 1960).

Характерной чертой данной задачи является наличие у траектории частицы вертикальной асимптоты и существование предельной скорости, к которой стремится скорость частицы.

Оба этих свойства выводятся в учебниках путём явного интегрирования уравнений движения.

Мы опишем довольно широкий класс сил сопротивления, для которых траектория обладает указанными свойствами. В этом классе уравнения движения уже не обязаны интегрироваться в квадратурах, и динамика исследуется методами качественного анализа.

Итак, второй закон Ньютона для частицы массы имеет вид:

Введём декартову систему координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх. Тогда второй закон Ньютона принимает вид:

Будем считать, что выполнены следующие условия:

1) $f in C(mathbb{R}^2) cap C^1(mathbb{R}^2 setminus {0})$ ;

2) равенство влечет ;

3) в $mathbb{R}^2$ ;

4) найдутся такие положительные числа и , что если , то ;

5) уравнение имеет единственное решение , причем

$frac{d(w f(0, w))}{dw} bigg|_{w=v_y^*} ne 0.$

Из данных условий вытекают неравенства

$frac{d(w f(0, w))}{dw} bigg|_{w=v_y^*} > 0, qquad (3)$

и .

Теорема. Все решения системы (1), (2) определены при . Каждая траектория имеет вертикальную асимптоту:

$x(t) to x^*, quad y(t) to -infty quad text{при} quad t to infty.$

Более того,

Доказательство.

Дальнейшее изложение требует от читателя владения аппаратом дифференциальных уравнений в объеме книги: Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2004.

В силу условия 4) и энергетического неравенства

$frac{m}{2}frac{d}{dt}|mathbf{v}|^2=m(mathbf{g}, mathbf{v}) - |mathbf{v}|^2 f(mathbf{v}) le mg|mathbf{v}| - |mathbf{v}|^2 f(mathbf{v})$

все решения системы (1), (2) ограничены и, соответственно, бесконечно продолжаемы вправо.

Покажем, что .

Действительно, перепишем уравнение (1) в интегральной форме:

$v_x(t)=v_x(0) exp left( -frac{1}{m} int_0^t f(mathbf{v}(tau)) , dtau right).$

В силу условия 3) экспонента является невозрастающей функцией времени , поэтому существует предел . Таким образом, -предельное множество данного решения лежит на прямой ${v_x=v_x^*}$ .

Всякое решение системы (1), (2), лежащее в -предельном множестве, имеет вид

Подставим это решение в уравнение (1):

Предположим, что . Тогда . В силу условия 2) должно быть . Полученное противоречие доказывает, что .

На прямой ${v_x=0}$ уравнение (1) удовлетворяется тождественно, а динамика описывается уравнением (2), которое принимает вид:

$mdot{v}_y=-mg - v_y f(0, v_y). qquad (4)$

Легко показать, что все решения этого уравнения асимптотически стремятся к единственному положению равновесия . Из этого наблюдения следует, что всякое замкнутое инвариантное множество уравнения (4) содержит точку , а значит, -предельное множество любого решения системы (1), (2) содержит точку .

Следовательно, для любого решения системы (1), (2) найдётся последовательность такая, что

Линеаризуем систему (1), (2) в окрестности положения равновесия . Система линейного приближения имеет вид:

$m begin{pmatrix} dot{xi} \ dot{eta} end{pmatrix}=begin{pmatrix}-f^* & 0 \-v_y^* f_1 & -(f^* + f_2 v_y^*)end{pmatrix}begin{pmatrix} xi \ eta end{pmatrix},$

где , $f_1=frac{partial f}{partial v_x}(0, v_y^*)$ , $f_2=frac{partial f}{partial v_y}(0, v_y^*)$ .

Собственные числа этой системы отрицательны:

$-frac{f^*}{m} < 0, quad -frac{f^* + f_2 v_y^*}{m} < 0.$

Первое неравенство вытекает из условий 3),5); второе — из формулы (3).

Таким образом, положение равновесия экспоненциально устойчиво. Поскольку для каждого решения верно (5), т.е. каждое решение посещает сколь угодно малую окрестность положения равновесия, имеем