Парадокс трансформатора: как провод снаружи «узнает» о том, что происходит внутри

Привет всем любителям физики и физического эксперимента! Сегодня у нас статья-рассуждение, в который мы предлагаем вам вместе с нами разобраться с одним из парадоксов трансформатора. Коротко: трансформатор работает благодаря изменяющемуся магнитному потоку, именно он создает электродвижущую силу (ЭДС) во вторичной обмотке. Но что произойдет, если сделать магнитную проницаемость сердечника бесконечно большой? Тогда магнитный поток практически полностью сосредоточится внутри сердечника, а снаружи магнитного поля как будто не останется. Как же внешний провод «узнает» об изменении потока внутри и почему в нём всё-таки возникает ЭДС? Разберем этот парадокс и выясним, что происходит с электромагнитным полем на самом деле.

Спасибо всем за просмотры, плюсы и финансовую поддержку на Дзене (разовым донатом или премиум-подпиской) и через другими способами. Ценим каждый донат! А теперь — к парадоксу трансформатора. Приятного чтения :)

Представим сердечник с первичной обмоткой. Вокруг сердечника находится ещё один проводящий контур — например, большой короткозамкнутый виток, охватывающий сердечник.

Теперь представим мысленный эксперимент: будем увеличивать магнитную проницаемость сердечника μ, устремляя её к бесконечности. И здесь возникает парадокс.

С одной стороны, через внешний виток проходит изменяющийся магнитный поток. Поэтому по закону электромагнитной индукции Фарадея, который лежит в основе работы трансформатора, в нём должна возникать ЭДС:

где E — ЭДС индукции, а Φ — магнитный поток через контур.

С другой стороны, чем больше магнитная проницаемость сердечника, тем сильнее магнитное поле концентрируется внутри него. В пределе μ→∞ кажется, что весь магнитный поток оказывается внутри сердечника.

Но тогда возникает вопрос: как внешний провод узнаёт о том, что внутри сердечника меняется магнитный поток? Что действует на электроны в этом проводе? Откуда вообще берётся ЭДС Кажется, что ей возникать неоткуда. Вот с этим противоречием мы и будем разбираться.

Постоянный и переменный ток: сначала разберёмся с полями внутри сердечника

Прежде чем рассматривать сам парадокс, нужно различить две ситуации:

• когда по катушке течёт постоянный ток и она играет роль активного сопротивления R;

• когда по ней течёт переменный ток достаточной частоты, чтобы катушка играла роль индуктивного сопротивления ωL, где ω — это угловая частота переменного тока, а L — индуктивность катушки.

Для постоянного тока ток определяется активным сопротивлением катушки:

При увеличении μ этот ток не меняется. Магнитный поток при этом, напротив, растёт вместе с магнитной проницаемостью и в нашем мысленном пределе стремится к бесконечности.

Теперь рассмотрим переменный ток. Если индуктивное сопротивление катушки значительно больше её активного сопротивления, амплитуда тока примерно равна:

Индуктивность растёт вместе с магнитной проницаемостью сердечника. Поэтому при μ→∞ получаем L→∞, а значит I→0. Постоянным по амплитуде здесь будет магнитный поток (Φ) — потому что он должен создавать такую противо-ЭДС, которая уравновешивает внешнюю ЭДС, приложенную к катушке.

Итак, для постоянного и переменного тока при μ→∞ получаются совершенно разные картины:

Теперь посмотрим, что происходит с магнитными полями. Для описания магнитного поля удобно использовать две величины: H и B.

• Поле H определяется токами, создающими магнитное поле, и в нашей задаче от магнитной проницаемости μ непосредственно не зависит.

• Магнитная индукция B, напротив, связана с H соотношением:

Постоянный ток

Выпишем поле H, которое определяется токами и пропорционально им — от μ оно никак не зависит. Стало быть, в случае постоянного тока магнитное поле H постоянно. Поэтому при μ→∞ магнитная индукция внутри сердечника стремится к бесконечности B→∞.

Переменный ток

Теперь рассмотрим случай переменного тока: B удобно записать как поток Φ, поделённый на площадь Sю Поскольку поток постоянный, магнитное поле B внутри сердечника не будет зависеть от изменения μ. А вот магнитное поле H при μ→∞ стремится к нулю.

Теперь выпишем плотность магнитной энергии внутри сердечника для каждого из случаев. Обозначим её w:

В случае постоянного тока: H не меняется, а B→∞ — значит, и плотность магнитной энергии стремится к бесконечности w→∞.

А в случае переменного тока формула та же, но теперь B при изменении μ не меняется, а H стремится к нулю. Значит, и плотность магнитной энергии при μ→∞ стремится к нулю w→0.

Осталось выписать то, что интересует нас непосредственно для нашей проблемы: каким будет магнитное поле, выходящее из сердечника. Обозначим его B_*.

Для постоянного тока вне сердечника магнитная проницаемость снаружи равна единице, поэтому:

А H_* будет таким же, как и H внутри сердечника, то есть величиной постоянной. Это означает, что при μ→∞ вышедшее магнитное поле вообще остаётся тем же самым — фактически тем полем, которое катушка создаёт внутри себя в отсутствие сердечника.

А в случае переменного тока ситуация другая. B_* равно H_*, но H стремится к нулю — и поэтому выходящее магнитное поле в случае переменного тока тоже будет стремиться к нулю при μ→∞.

В этом пределе снаружи не должно оставаться никакого магнитного поля — и наш парадокс только усугубляется: что же тогда создаёт ЭДС в проводе, который охватывает сердечник?

А теперь мы хотим усугубить наше рассуждение еще больше — и с этой целью рассмотрим тороидальную катушку. Пусть она будет бифилярной: намотанной сначала в одном, а потом в другом направлении — так, чтобы уж точно никакого магнитного поля снаружи не было.

И вот спрашивается: если мы подаем на эту катушку переменное напряжение, по ней течет переменный ток, и мы охватываем ее каким-то контуром снаружи — то по закону электромагнитной индукции в этом контуре должна наводиться ЭДС. Но магнитного поля снаружи нет. Каким образом контур узнает о том, что магнитный поток изменяется там, внутри катушки?

Разрешение парадокса: уравнения Максвелла дают ответ

А разрешение этого парадокса состоит в том, что когда мы говорили про выходящие поля, мы рассматривали стационарную или квазистационарную ситуацию. А честное распределение полей в пространстве находится с помощью уравнений Максвелла, которые надо решать в совокупности.

Здесь мы записали все четыре уравнения. Снаружи, в пространстве, где нет никакой среды, зарядов и токов тоже нет. Кроме того, до этого мы писали уравнения в системе СИ, а тут они записаны в системе СГС — ты мы сразу можем видеть множитель 1/c как выделенную скорость света, поскольку она существенна в этой истории.

Если эти уравнения решить (методом последовательных приближений, но это длинно и неинтересно), то мы получим, что снаружи имеется переменное поле, осциллирующее с той же частотой, с которой осциллирует поток внутри. То есть внешний провод действительно «чувствует» происходящее внутри — просто механизм оказывается тоньше, чем кажется из квазистатического рассуждения.

Обозначим его снова B_*. По сравнению с полем B внутри сердечника, B_* оно меньше в (a/λ)² раз, где:

• a — это характерный размер системы,

• λ — длина электромагнитной волны в вакууме на той частоте, на которой работает трансформатор.

Давайте прикинем: возьмем 6 см в качестве характерного размера трансформатора — тогда λ на частоте 50 Гц составит 6⋅10⁸ см, то есть будет в 10⁸ раз больше.

Возводим в квадрат — получаем 10¹⁶. Значит, поле B_* снаружи меньше поля B внутри сердечника в 10¹⁶ раз. И тем не менее это поле снаружи есть — и именно его наличие замыкает систему уравнений.

А еще заметим, что магнитная проницаемость сердечника μ в этих выкладках не присутствует никак. Важно лишь, чтобы она была достаточной для работы трансформатора — а дальше ее можно увеличивать сколь угодно: от этого в наших рассуждениях ничего не изменится:

• величина поля B_* останется той же самой;

• и соответственно, величина электрического поля снаружи определяется потоком магнитного поля через сердечник и частотой его изменения.

Итог: трансформатор как излучатель электромагнитных волн

Напоследок мы должны сказать несколько вещей.

Во-первых, общая картина, как мы ее теперь представляем: сердечник трансформатора работает как излучатель электромагнитных волн, и эти волны улавливаются вторичной обмоткой. Правда, когда мы обычно говорим про волны, мы рассматриваем их в дальней зоне — далеко от антенны. Здесь же все происходит совсем рядом с антенной — тем не менее язык волн дает какое-то понимание.

Во-вторых, честно говоря, это понимание далось нам не сразу: ушло довольно много времени на то, чтобы сформировать для себя какую-то картину — через рассуждения, формулы и рисунки. Мы постарались представить здесь то, что поняли сами.

И в-третьих, трансформатор, как выясняется, — конструкция непростая. Так что если есть вопросы, ждем ваших комментариев. И большое спасибо за внимание!

Видео, на основе которого подготовлен этот материал: