Сфера Блоха для бройлеров

в 14:03, , рубрики: квантовые технологии, координаты, кубит, математика, Научно-популярное, сфера Блоха, физика, химия

В этой публикации мы попробуем подробно разобрать, что же такое сфера Блоха, иллюстрирующая пространство состояний одного двухуровневой квантовой системы, что в области квантовых вычислений зовётся "кубитом". Для тех, кто желает понять, зачем на математике мучают бесполезными комплексными числами, узреть одно из красивейших применений комплексных чисел и сферической системы координат.


Сфера Блоха
Сфера Блоха

Центральной идеей квантовых компьютеров является переход от использования кодировки информации в виде последовательности битов, которые могут принимать значения 0 и 1, к последовательностям кубитов. Каждый кубит -- это двухуровневая квантовая система (далее мы будем использовать эти определения как эквивалентные понятия): у нас есть состояние |0⟩, являющееся аналогом 0 бита, и состояние |1⟩, аналог 1 бита. Вариантов того, что из себя могут представлять |0⟩ и |1⟩, очень много: спины |0⟩ = |↑⟩, |1⟩= |↓⟩ ("вверх"/"вниз"), состояния ангармонического осциллятора, поляризации фотонов (см. подробнее, например, здесь). Но в квантовой механике, согласно принципу суперпозиции, все подобные кубиты описываются при помощи волновой функции, вектора состояния |ψ⟩:

|psirangle=c_0 |0rangle + c_1 |1rangle

Поскольку наша система по нашему же предположению, имеет только два возможных состояния для финального измерения, то получается, что состояние описывается двумерным вектором комплексных коэффициентов перед состояниями c0 и c1, т.е. (c0,c1)T, а наши состояния |0⟩ и |1⟩ являются базисными векторами, причём перпендикулярными друг другу, записывается это как

begin{cases} langle 0 | 0rangle=langle 1|1rangle=1 \ langle 0 | 1rangle=0 end{cases}

Но не всё так просто с этим выражением, по своему смыслу, коэффициенты c0 и c1 связаны с вероятностью обнаружить кубит в состоянии |0⟩ или |1⟩, обозначим их p0 и p1:

begin{cases} p_0=frac{|c_0|^2}{|c_0|^2 + |c_1|^2} \ p_1=frac{|c_1|^2}{|c_0|^2 + |c_1|^2} end{cases}

Мы, конечно, можем позволить себе выбирать эти коэффициенты какими угодно, но физически значимыми являются т.н. нормированные коэффициенты, такие что

langle psi | psi rangle=|c_0|^2 + |c_1|^2=1

Т.е. полная вероятность найти систему в состоянии |ψ⟩ равна единице, в этом случае квадрат модуля каждого из коэффициентов -- это просто вероятность найти кубит в соответствующем базисном состоянии |n⟩ (pn=|cn|2, n=0,1). Выражение |c0|2+|c1|2=1 можно легко параметризовать при помощи основного тригонометрического тождества:

overbrace{ cos^2left(frac{theta}{2}right) }^{|c_0|^2} + overbrace{sin^2left( frac{theta}{2} right)}^{|c_1|^2}=1

Любое комплексное число z=a+b·i можно представить в показательной форме:

z=a+bcdot i=underbrace{A}_{sqrt{a^2 + b^2}} cdot exp(ivarphi)

где A=|z|≥0 -- это модуль комплексного числа, а φ -- фаза z, вычисляемая через преобразование в полярные координаты:

begin{cases} a=A cdot cos(varphi) \ b=A cdot sin(varphi) end{cases} Rightarrow frac{b}{a}=tan(varphi)

Отсюда видно, что модули коэффициентов c0 и c1 должны быть неотрицательными. Исходя из основного тригонометрического тождества, мы можем определить коэффициенты волновой функции |ψ⟩ как

begin{cases} |c_0|=cos(theta/2) \ |c_1|=sin(theta/2) end{cases}

При такой параметризации, из условия |cn|≥0, у нас получается, что угол θ может меняться от 0 до π, и мы выбираем это, осознанно, чтобы этот угол был похож на полярный азимутальный угол в сферических координатах, собственно, для этого и нужна двойка в θ/2. Но на самом деле для этого есть и более физические предпосылки

И, само, собой, используя показательную форму комплексных чисел, мы можем представить коэффициенты волновой функции в виде:

begin{cases} c_0=cos(theta/2) cdot e^{ivarphi_0} \ c_1=sin(theta/2) cdot e^{ivarphi_1} end{cases}

Где по смыслу углы φn -- это полярные углы. Вроде всё хорошо, но у нас оказывается, что состояние |ψ⟩ определяют три числа: азимутальный угол (θ) и два полярных (φ0 и φ1). Но возникает резонный вопрос: а все ли они нужны, и ответ, как все уже догадались, нет.

В квантовой механике нас интересуют наблюдаемые величины, а представляются они в виде операторов, например, если у нас есть величина O от слова "observable", то её оператор обозначается добавлением сверху крышечки. В случае двухуровневой системы, оператор -- это по-сути, матрица, действующая на вектор коэффициентов (c0,c1)T, и превращающая его в вектор новых коэффициентов:

hat{O}=begin{pmatrix} langle 0 | hat{O} | 0rangle & langle 0|hat{O} |1 rangle \ langle 1|hat{O}|0rangle & langle 1 | hat{O} | 1 rangle end{pmatrix}

причём ⟨0|O|1⟩=⟨1|O|0⟩* звёздочка обозначает комплексное сопряжение. Для нас важно, что среднее значение любой произвольной наблюдаемой для заданного состояния было бы одним и тем же числом, т.е. если

langle psi | hat{O} | psi rangle=langle psi' | hat{O} | psi'rangle

то мы разницы между состояниями |ψ⟩ и |ψ'⟩ не увидим: для нас они будут наблюдаемо одним и тем же состоянием. Теперь предположим, что |ψ'⟩=eiφ·|ψ⟩, тогда ⟨ψ'|=e-iφ·⟨ψ|, а значит

langle psi' | hat{O} | psi' rangle=exp(-ivarphi + ivarphi) cdot langle psi | hat{O} | psirangle=langle psi| hat{O} | psi rangle

т.е. фаза всего состояния даёт нам то же самое наблюдаемое состояние. Поэтому мы можем переписать наше двухуровневое состояние

|psirangle=cos(theta/2) e^{ivarphi_0} |0rangle + sin(theta/2) e^{ivarphi_1} |1rangle

как

|psirangle=e^{ivarphi_0} cdot (  cos(theta/2)  |0rangle + sin(theta/2) e^{i(varphi_1 - varphi_0)} |1rangle )

Соответственно, исходя из вышесказанного, можно спокойно проигнорить множитель eiφ0, и тогда единственным полярным углом, который у нас останется, будет разность фаз φ=φ1-φ0, и только сий угол определяет наше квантовое состояние.


В сухом остатке, наше состояние |ψ⟩ имеет вид:

|psirangle=cosleft(frac{theta}{2}right) |0rangle + e^{ivarphi} cdot sinleft(frac{theta}{2}right) |1rangle

и параметризуется двумя параметрами:

  • углом φ в интервале от 0 до 2π имеющим смысл разности фаз между двумя двумя базисными состояниями,

  • углом θ, от 0 до π, задающим относительное "содержание" базисных состояний |0⟩ и |1⟩ в нашей волновой функции |ψ⟩.

Но вся наша конструкция очень подозрительно напоминает сферические координаты, которые, традиционно, задаются следующим образом:

begin{cases} x=r cos(varphi) sin(theta) \ y=r sin(varphi) sin(theta) \ z=r cos(theta) end{cases}

где r -- радиус, φ -- полярный угол (от 0 до 2π), а θ -- азимутальный угол (от 0 до π). Если мы зафиксируем радиус, то изменение углов опишет нам сферу в трёхмерном пространстве, а поскольку углы определены точно так же, как и для нашей волновой функции для двухуровневой системы, то мы можем отобразить все возможные состояния, как точки на сфере фиксированного радиуса r, и такое представление состояний двухуровневой системы зовётся сферой Блоха, в честь Нобелевского лауреата по физике Феликса Блоха.

Разберёмся как эта сфера устроена (см. рисунок в самом начале статьи), разобрав, какие вектора (x,y,z)T в трёхмерном пространстве соответствуют каким состояниям |ψ⟩.

  • При θ=0 (и любом значении φ) мы получим состояние |ψ⟩=|0⟩, это будет соответствовать вектору (0,0,r)T, это верхняя точка сферы, её "северный полюс".

  • Напротив "северного полюса" будет южный полюс (0,0,-r)T, при θ=π (и любом значении φ), это соответствует состоянию |ψ⟩=|1⟩. В этом смысле, наши базисные состояния -- это уникальные противоположности.

  • При θ=π/2 и каком-то значении φ, мы окажемся на экваторе (z=0, x2+y2=r2), когда в нашем состоянии |ψ⟩ ровно 50/50 вкладов от состояний |0⟩ и |1⟩.

  • Соответственно, в "северном полушарии" (выше экватора, при z>0) у нас будет больше |0⟩ в состоянии |ψ⟩, а в "южном полушарии" (ниже экватора, при z<0), наоборот, больше |1⟩.

Вот таким вот нехитрым способом можно легко и просто визуально изображать всякие весёлости, происходящие с состоянием двухуровневой системы. Конечно, физический смысл этого изображения существенно богаче: например, для частиц со спином 1/2 эта сфера будет давать пространственное направление спина, но это уже отдельный интересный вопрос.

Автор:
madschumacher

Источник


* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js