Из волшебной математической функции – одно решение, чтобы править ими всеми

в 7:00, , рубрики: измерения, математика, Научно-популярное, универсальная оптимальность, упаковка сфер

Из волшебной математической функции – одно решение, чтобы править ими всеми - 1

Три года назад Марина Вязовска из Швейцарского федерального технологического института в Лозанне поразила математиков, обнаружив самый плотный способ упаковки сфер одинакового размера в восьми- и 24-мерном пространствах (во втором случае – при помощи четырёх соавторов). А теперь они с соавторами доказали нечто ещё более удивительное: конфигурации, решающие задачу плотной упаковки сфер в упомянутых измерениях, также решают бесконечное число других задач, связанных с наилучшим расположением точек, пытающихся избежать друг друга.

Точки, к примеру, могут обозначать бесконечный набор электронов, которые отталкивают друг друга и пытаются устроиться в конфигурации с наименьшей энергией. Или эти точки могут обозначать центры длинных, скрученных полимеров в растворе, пытающихся расположиться так, чтобы не сталкиваться с соседями. Вариантов подобных проблем есть множество, и совершенно неочевидно, что у всех их должно быть одно и то же решение. Математики считают, что в большинстве измерений это очень вряд ли будет так.

Но пространства, состоящие из 8 и 24 измерений, содержат особую, очень симметричную конфигурацию точек, которая, как нам теперь известно, одновременно решает все эти разные задачи. На языке математики две эти конфигурации называются «универсально оптимальными».

Это новое масштабное открытие серьёзно обобщает предыдущую работу Вязовской и её коллег. «Фейерверк не прекращался», — сказал Томас Хейлс, математик из Питтсбургского университета, доказавший в 1998 году, что всем известное пирамидальное расположение апельсинов является самым плотным способом упаковки сфер в трёхмерном пространстве.

Восемь и 24 присоединяются к одному измерению в небольшом списке измерений, содержащих универсально оптимальные конфигурации. На двумерной плоскости есть свой кандидат для универсальной оптимальности – сетка из равносторонних треугольников – но нет доказательства. В трёхмерном мире царит полный зоопарк: разные конфигурации точек показывают разные результаты в разных обстоятельствах, а для некоторых задач у математиков даже нет сносных догадок по поводу наилучшей конфигурации.

«Изменяете измерение, или немного изменяете задачу, и ситуация становится непонятной», — сказал Ричард Шварц, математик из университета Брауна в Провиденс. «Не знаю, почему математическая вселенная так устроена».

Доказать универсальную оптимальность гораздо сложнее, чем решить проблему упаковки сфер. В частности потому, что универсальная оптимальность включает в себя бесконечное число различных задач сразу, но ещё и потому, что эти задачи сами по себе сложнее. В упаковке сфер каждую сферу волнуют только её ближайшие соседи, но в задаче типа распределения электронов каждый из электронов взаимодействует со всеми остальными, вне зависимости от расстояния между ними. «Даже в свете ранней работы, я не ожидал, что это универсально оптимальное доказательство можно проделать», — сказал Хейлс.

«Это очень, очень впечатляет, — сказала Сильвия Серфати, математик из Нью-Йоркского университета. – Эта штука находится на одном уровне с крупными математическими прорывами XIX века».

Волшебный сертификат

Может показаться странным, что измерения 8 и 24 должны вести себя не так, как, скажем, измерения 7, 18 или 25. Но математикам давно известно, что плотная упаковка объектов в пространстве работает по-разному в разных измерениях. К примеру, рассмотрим многомерную сферу, определённую просто как набор точек, расположенных на фиксированном расстоянии от центра. Если сравнить объём сферы с объёмом наименьшего описывающего её куба, то чем выше измерение, тем меньшую часть куба занимает сфера. Если бы вы захотели отправить по почте восьмимерный футбольный мяч в наименьшей возможной коробке, то мяч занял бы меньше 2% от объёма коробки – а всё остальное было бы паразитным пустым пространством.

В каждом измерении большем трёх возможно создать конфигурацию, аналогичную пирамиде из апельсинов, и с увеличением измерений разрывы между сферами растут. Дойдя до восьмого измерения, мы внезапно сталкиваемся с тем, что в этих промежутках появляется достаточно места, чтобы втиснуть туда сферы. В итоге получается крайне симметричная конфигурация под названием решётка E8. В 24-м измерении сходным образом возникает решётка Лича, когда можно запихнуть дополнительные сферы в промежутки, создав таким образом ещё одну известную конструкцию по упаковке сфер.

По причинам, не полностью понятным математикам, две этих решётки неожиданно возникают то в одной области математики, то в другой, от теории чисел и матанализа до математической физики. «Мне неизвестна одна причина всего этого», — сказал Генри Кон из института Microsoft Research New England в Кембридже, Массачусетс, один из пяти авторов работы.

Более десяти лет у математиков имелись убедительные численные свидетельства того, что E8 и решётка Лича являются универсально оптимальными в своих измерениях – но до недавнего времени они понятия не имели, как это доказать. Затем в 2016-м Вязовска сделала первый шаг к этому, доказав, что две эти решётки – наилучшие способы упаковки сфер.

И если доказательство Хейлса для трёхмерного случая растягивается на сотни страниц и требует затратных вычислений на компьютере, доказательство от Вязовской для случая E8 умещается на 23-х страницах. Суть её аргументов связана с определением «волшебной» функции (как математики теперь её называют), которая выдаёт то, что Хейлс назвал «сертификатом» для E8 на наилучшую упаковку сфер – это доказательство сложно добыть, но после его появления оно обладает мгновенной убедительностью. К примеру, если бы кто-нибудь спросил вас, есть ли такое вещественное число x, при котором многочлен x2 – 6x + 9 становится отрицательным, вы бы могли задуматься над ответом. Однако осознав, что этот многочлен эквивалентен (x – 3)2, вы бы сразу поняли, что ответ – «нет», ибо квадрат вещественного числа не может быть отрицательным.

Метод поиска волшебной функции Вязовской оказался мощным – и чуть ли не слишком мощным. Задача упаковки сфер касается только взаимодействия близлежащих точек, но подход Вязовской, казалось, может работать и для дальних взаимодействий, как в случае с удалёнными электронами.

Неопределённость в высших измерениях

Чтобы показать, что конфигурация точек в пространстве универсально оптимальна, сначала необходимо определить эту универсальность. Не существует конфигурации точек, оптимальной для любой цели: к примеру, когда на точки действует сила притяжения, конфигурацией с наименьшей энергией будет не какая-нибудь решётка, а массивная кучка, в которой все точки находятся в одном месте.

Вязовска, Кон и их коллеги ограничили область изучения универсальностью отталкивающих сил. Конкретнее, они рассматривали монотонные силы, то есть, такие, у которых отталкивание становится сильнее при сближении точек. В эту обширную семью входят многие распространённые силы физического мира. Сюда входят степенные законы Вселенной – включая закон Кулона для электрически заряженных частиц, и гауссианы, функции с графиками в виде колокола, описывающие поведение сущностей со множеством независимых отталкивающихся частей, как, например, длинные полимеры. Задача упаковки сфер находится на внешнем крае этой вселенной: требование о том, чтобы сферы не пересекались, превращается в бесконечно сильное отталкивание в случае, когда расстояние между их центрами оказываются меньше их диаметра.

Для любой их этих монотонных сил возникает вопрос – какой будет конфигурация с наименьшей энергией – «основное состояние» – для бесконечного набора частиц? В 2006 году Кон и Кумар разработали метод нахождения меньшей границы энергии основного состояния через сравнение функции, описывающей энергию, с меньшими «вспомогательными» функциями с очень удобными свойствами. Они обнаружили бесконечный запас вспомогательных функций для каждого измерения, но не знали, как найти лучшую вспомогательную функцию.

Из волшебной математической функции – одно решение, чтобы править ими всеми - 2
Пятеро авторов новой работы: Генри Кон, Абхинав Кумар, Марина Вязовска, Стивен Миллер и Данило Радченко

В большинстве измерений обнаруженные Коном и Кумаром численные ограничения мало напоминают энергию наилучшей конфигурации из возможных. Но в измерениях 8 и 24 границы подошли потрясающе близко к энергии E8 и решётке Лича для каждой отталкивающей силы, на которой Кон и Кумар опробовали свой метод. Естественно было задуматься о том, не существует ли для любой отталкивающей силы некоей идеальной вспомогательной функции, которая дала бы границу, точно совпадающую с энергией E8 или решёткой Лича. Для задачи упаковки сфер именно это сделала Вязовска три года назад: она обнаружила идеальную, «волшебную» вспомогательную функцию, изучая класс функций под названием модулярные функции, чьи особые свойства симметрии столетия назад сделали их объектом изучения.

Когда речь заходила о других задачах с отталкивающимися точками, например, о задаче с электронами, исследователи знали, каким свойствам должна удовлетворять любая волшебная функция: в определённых точках она должна принимать особые значения, а её преобразование Фурье – измеряющее естественные частоты функции – должно было принимать особые значения в других точках. Чего они не знали, так это то, существует ли такая функция.

Обычно довольно просто сконструировать функцию, которая делает то, что вам нужно, в ваших любимых точках, но удивительно сложно контролировать одновременно и функцию, и её преобразование Фурье. «Когда вы начинаете заставлять что-то делать одну из них, другая делает нечто совершенно отличное от ваших желаний», — сказал Кон.

На самом деле эта привередливость представляет собой не что иное, как замаскированный принцип неопределённости в физике. Принцип неопределённости Гейзенберга – утверждающий, что чем больше вы знаете о местоположении частицы, тем меньше вы знаете о её импульсе, и наоборот – особый случай этого общего принципа, поскольку волна импульса частицы является преобразованием Фурье от её волны местоположения.

В случае отталкивающей силы в измерениях 8 или 24 Вязовска выдвинула смелую гипотезу: ограничения, которые команда хотела наложить на их волшебную функцию и её преобразование Фурье, находятся точно на границе между возможным и невозможным. Она подозревала, что если добавить ещё хоть сколько-нибудь ограничений, и такой функции уже не будет; если уменьшить ограничения, то таких функций может оказаться множество. Она предположила, что в ситуации, интересовавшей команду, должна быть ровно одна подходящая функция.

«Думаю, это одна из прекрасных особенностей Марины, — сказал Кон. – Она очень проницательная, а также очень смелая».

В то время Кон оценивал это скептически – догадка Вязовской казалась слишком хорошей для того, чтобы быть правдой – но команда в итоге доказала её. Они не только показали, что для каждой отталкивающей силы существует ровно одна волшебная функция, но и дали рецепт её изготовления. Как в случае с упаковкой сфер, эта конструкция сразу же дала сертификаты оптимальности для E8 и решётки Лича. «Это вроде как монументальный результат», — сказал Шварц.

Треугольная решётка

Кроме разрешения задачи универсальной оптимальности, новое доказательство отвечает на актуальный вопрос, стоявший у математиков с тех пор, как Вязовска решила задачу упаковки сфер три года назад: откуда взялась её волшебная функция? «Думаю, многие были озадачены, — сказала Вязовска. – Они спрашивали: В чём смысл этого?»

В новой работе Вязовска и её коллеги показали, что волшебная функция упаковки сфер – первый в ряду строительных блоков модулярных форм, которые можно использовать для создания волшебных функций для каждой отталкивающей силы. «Теперь у неё есть много братишек и сестрёнок», — сказала Вязовска.

Кону всё ещё кажется чудесным то, что картинка так удачно сложилась. «В математике некоторых вещей приходится достигать через упорство и грубую силу, — сказал он. – А бывают времена, как сейчас, как будто математика хочет, чтобы что-то случилось».

Следующий естественный вопрос – можно ли адаптировать эти методы к доказательству универсальной оптимальности для единственного из оставшихся кандидатов: решётки из равносторонних треугольников на двумерной плоскости. Для математиков тот факт, что никто не смог дать доказательства в таких простых условиях, считается «страшным позором для всего сообщества», сказал Эдвард Сафф, математик из Университета Вандербильта в Нэшвилле.

В отличие от E8 и решётки Лича, двумерная треугольная решётка появляется в разных местах в природе, от структур сот до расположения воронок в сверхпроводниках. Физики уже подразумевают оптимальность этой решётки в широком спектре контекстов на основе горы экспериментов и симуляций. Но, говорит Кон, ни у кого нет концептуального объяснения того, почему треугольная решётка должна быть универсально оптимальной – того, что, будем надеяться, даст математическое доказательство.

Измерение 2 – единственное, за исключением 8 и 24, в котором хорошо работает числовая нижняя граница Кона и Кумара. Это явно говорит о том, что в двух измерениях должна существовать волшебная функция. Однако метод команды для конструирования волшебных функций вряд ли можно будет перенести в эту новую область: он сильно зависит от того, что числа, обозначающие расстояния между точками в E8 и решётке Лича особенно хорошо ведут себя, чего не происходит в двух измерениях. Пока что это измерение «судя по всему, находится за пределами человеческих возможностей», — сказал Кон.

Пока что математики празднуют своё новое прозрение, связанное со странными мирами 8- и 24-мерных пространств. Это, как сказал Шварц, «одна из лучших вещей, которые я, скорее всего, увижу за свою жизнь».

Автор: Вячеслав Голованов

Источник


* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js