Про геометрический смысл кодов Грея

в 5:05, , рубрики: z-кривая, Алгоритмы, код Грея, кривая гильберта, математика
Про геометрический смысл кодов Грея - 1

Коды Грея имеют близкую родственную связь с кривой Гильберта.
Впрочем, при общении с коллегами выяснилось, что эта несложная зависимость выглядит в их глазах как нечто нетривиальное. Поиск в интернетах навскидку ничего не дал кроме мутной фразы в вики: “кривые Гильберта в пространствах большей размерности являются представителями обобщений кодов Грея”. Поэтому возникло желание раскрыть тему — коротенько, простым языком.
В результате под катом — «скандалы, интриги, расследования».

Основная особенность кода Грея — два соседних в лексикографическом порядке значения отличаются только в одном разряде. С другой стороны, кривая Гильберта непрерывна — расстояние между двумя соседними точками всегда единица. Уже только одно это намекает об их внутренней связи.

Код Грея описывает похождения кривой Гильберта в рамках единичного гиперкуба. В самом деле, если взять 3-разрядный код и нарисовать его в 3-мерном пространстве (принимая каждый разряд за соответствующую координату), получим

Про геометрический смысл кодов Грея - 2

Фиг.1 3-разрядный код Грея как 3-мерный куб

Знакомая картина — это 3-мерный симплекс кривой Гильберта! Последовательно заменяя каждый узел симплекса на такой же симплекс (с учетом поворотов и отражений для сохранения непрерывности), получим кривую Гильберта 4х4х4.
Продолжая эти итерации, сможем непрерывно заполнить кубическую решетку любого размера.
Про геометрический смысл кодов Грея - 3
Фиг.2 несколько итераций симплекса кривой Гильберта.

Но как так получилось?

Известно, что код Грея самоподобен. Его иногда называют зеркальным “из-за того, что первая половина значений при изменении порядка эквивалентна второй половине, за исключением старшего бита. Старший бит просто инвертируется”. Для наглядности, 3-разрядный код — самый старший разряд — самый левый:

Про геометрический смысл кодов Грея - 4

Раз уж речь зашла о самоподобии, начнём с начала — с одноразрядного кода. Строго говоря, можно было бы начать и с нулевой размерности — точки, принципиально это ничего не меняет, просто слов пришлось бы написать больше.

Одноразрядный код Грея даже проще, чем трёхлинейная винтовка, он либо 0, либо 1. Геометрически это соответствует одномерному единичному кубу — отрезку. По отрезку можно двигаться либо из начала в конец, либо из конца в начало — с точностью до симметрии это одно и то же. Но всё же, началом будем называть то место, где значение меньше (вспомним, что стороны куба это разряды числа), а концом — где больше.

Перейдём к двумерному случаю. Двумерный куб — квадрат. Принимая во внимание самоподобие, мы клонируем одномерный куб (0,1) и получаем два отрезка — (0,0 -> 1,0) и (0,1 -> 1,1). Теперь требуется соединить эти отрезки, чтобы получить обход квадрата. И здесь возникаю два варианта:

  • соединяем начало предыдущей итерации — одномерного куба с началом его клона. С точностью до симметрии это тоже самое, что и соединение конца с концом. Тип симметрии — зеркальная. Этот вариант условно назовём “миссионерским”.
  • соединяем конец предыдущей итерации с началом его клона. С точностью до симметрии это тоже самое, что и соединение начала отрезка с концом клона. Тип симметрии — центральная. Назовём этот вариант “паровозиком”.

Аналогично действуем при переходе к трёх и более мерным случаям.

Про геометрический смысл кодов Грея - 5
Фиг.3 Первые две итерации “миссионерского” варианта

Здесь красным цветом выделена предыдущая итерация, синим — её клон, бирюзовым — их соединение.

Обратим внимание — соединение всегда проходит по единственной размерности — вновь добавленной, отсюда в силу самоподобия и появляется основная особенность кода Грея. А раз соединяется конец предыдущей итерации с концом её клона, возникает “зеркальность” — при обходе, клон мы вынуждены проходить в обратном порядке. Вне зависимости от размерности. Здесь же видно происхождение и особенности кривой Гильберта — как бы ни была велика решетка (любой размерности), на низовом уровне это всё тот же единичный куб с переходами длиной в единицу.
Про геометрический смысл кодов Грея - 6
Фиг.4 Первые две итерации варианта “паровозик”, те же цвета

А ведь и эта музыка нам знакома — получился симплекс Z-кривой. Слово симплекс здесь также означает, что если взять каждую его точку и заменить на симплекс, получим куб 4х4х4, продолжая итерации — можно заполнить сколь угодно большую кубическую решетку.

Забавно, что в этом случае преобразование пройденного от начала координат пути в код, который может быть разобран на разряды-координаты тривиально.
Тогда как случае кода Грея это G = W ^ (W >> 1), где W-пройденная длина, G — код Грея.

Про геометрический смысл кодов Грея - 7
Фиг.5 первые две итерации Z-кривой (wiki)

Про геометрический смысл кодов Грея - 8
Фиг.6 для сравнения, первые две итерации кривой Гильберта (wiki)

А ведь других то (естественных) вариантов обхода единичного гиперкуба и нет.
Вот и получается, что куда ни кинь, кругом Гильберт, Лебег … и пустота.

PS: на титульной картинке круговой энкодер с восьмиразрядным кодом Грея.
PPS: тут меня поправляют, что симплекс — вполне устоявшийся термин, нехорошо с ним так. Что-же, в данной статье ведь не просто симплекс, а симплекс кривой Гильберта или симплекс Z-кривой. Пусть правоверные математики меня простят.

Автор: Борис Муратшин

Источник


* - обязательные к заполнению поля


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js