Квинтовый музыкальный строй

Музыкальный строй, основанный на последовательности шагов чистой квинтой, в Европе известен, как пифагорейский строй, а в Китае он получил название музыкальной системы 12 люй. Оба древних музыкальных строя абсолютно идентичны в плане математических пропорций всех образуемых интервалов.

Как известно, двенадцать ступеней древнего китайского строя образованы последовательностью 11 квинтовых шагов. При этом все нечетные ступени, включая первую, считаются мужскими (Ян), а все четные ступени, включая двенадцатую, считаются женскими (Инь). Стартовой ступенью строя в рассматриваемой модели выбрана ступень A первой октавы. В таблице даны результаты расчета частотных значений 12 люй при стандарте частоты ступени Ля = 440 Гц. Частотные значения всех ступеней приведены в границах первой октавы. 

В следующей таблице 12 ступеней китайского строя, расположены в порядке возрастания их частоты (в Гц и центах). Дополнительно указаны относительные значения ступеней, пересчитанные относительно частоты звука C, принятой за единицу. В нижней части таблицы для сравнения приведены относительные значения ступеней европейского чистого строя.

Значения семи (диатонических) ступеней – C, D, E, F, G, A, B практически совпадают со значениями ступеней гаммы C–Dur чистого строя (погрешность в пределах двух центов), а значения пяти других (хроматических) ступеней отличаются от диезных и бемоль­ных значений чистого строя на пифагорову комму (1,01364≈74/73).

В древнекитайской традиции образ музыкальной структуры 12 люй сопоста­вляется с годовым циклом, состоящим из 12 месяцев и представляется в виде круговой диаграммы [1].

Полный круг диаграммы означает октавное удвоение частоты звука и символизирует наивысшую гармонию двух звуков. К тому же, образ круга (колеса) с одной стороны олицетворяет принцип цикличности, а с другой стороны, – принцип завершенности.

Янские (нечетные) ступени изображены на приводимой ниже диаграмме светлыми кружками, а иньские (четные) – темными. Положение звуковысотных ступеней на круговой диаграмме, а точнее – их угловая координата, определяет относительное значение высоты звука по-срав­нению с высотой стартового звука A, которому на приведенной схеме соответ­ствует цифра 1, как на часовом циферблате. Отметим важное свойство приводимой нами круговой диаграммы 12 люй: положение ступеней строя и угловые размеры интервалов на диаграмме соответ­ству­ют логарифмическому масшта­бу. Особенность логарифмического отображения проявляется в том, что один и тот же интервал в разных участках октавного круга изображается дугой с пос­тоянным угловым размером. Например, квинтовые интервалы: 1–8, 8–3, 3–10,… с интерваль­ым коэффициентом (3/2), представлены на диаграмме дугой, с размером чуть большим 7/12 окружности (210,6 град.). Квартовые интервалы: 8–1, 3–8, 10–3... с интервальным коэффи­циен­том (4/3), имеют размер чуть меньше 5/12 окружности (149,4 град). Для сравнения заметим, что темперированная квинта на круговой диаграмме будет равна 210 градусам, темперированная кварта –150 градусам, а темперированный тон – 60 градусам.

Когда музыканты говорят, что октава равна сумме квинты и кварты, при этом подразумевается, что интервалы складываются. В то же время, октава, как интервальная пропорция, равна произведению интервальных коэффициентов квинты и кварты:  2/1= 3/2 х 4/3 = (12/6).

При отображении интервалов на круговой диаграмме соотношения между ними становятся более привыч­ными, поскольку умножение интервальных коэффи­циентов заменяется сложением угловых долей октавного круга. Такая же удобная замена умножения на сло­жение имеет место в круговой диаграмме и в отно­шении любых других интервалов, например, квинта (3/2) равна сумме большой (~5/4) и малой (~6/5) терций, а большая терция (~5/4) равна сумме целого (~9/8) и малого (~10/9) тона.

Последовательность 11 квинтовых шагов делит октавный круг на 12 почти одинаковых интервалов, которые символизируют 12 месяцев года. Но при точном квинтовом построении небольшая разница между интервалами–месяцами все же проявляет­ся. Из 12 месяцев круговой диаграммы – пять можно условно именовать «большими» (двойная линия на диаграмме), а семь – «малыми». Размер большого месяца превышает размер малого месяца на пифагорову комму (~74/73). Например, интервал A–Bb на комму больше интерва­ла Bb–B. При всей условности сопоставления звуковысотной структуры с годовым циклом из 12 месяцев, можно отметить интересное совпадение: семь малых месяцев по 30 дней и пять больших по 31 дню в сумме дают 365 дней стандартного года. Заметим, что деление полного цикла на 12 частей было в Китае традиционным (12 часов и 12 знаков зодиака).

Проанализируем детально и другие пропорции китайского строя. Интервалы между сосед­ними янскими ступенями (1–3–5–7–9–11), а также между иньскими ступенями (2–4–6–8–10–12) образуются в результате двойного квинтового шага (3/2 х 3/2=9/4). После сведения результата в диапазон одной октавы, данный интервал становится равным 9/8, что соответствует нату­ральному целому тону. Как следует из диаграммы, интервал целый тон всегда объединяет два неравных месяца – большой и малый. Его угловой размер на диаграмме занимает чуть больше шестой части октавного круга (61,17 градуса). Превышение составляет всего 1,17 гра­дуса, но именно из–за этого небольшого превышения шестой интервал между 11 и 1 янскими ступенями, замыкающий октавный круг, оказывается меньше шестой части окружности на комму (74/73) – 7,04 градуса. То же самое относится и к замыкающему интервалу между 6 и 8 иньскими ступенями. Значения этих двух замыкающих интервалов с большой точностью равны малому тону (10/9), который меньше целого тона всё на ту же пифагорову комму.

Очевидно, что, большой и малый месяцы в структуре 12 люй играют роль базовых интер­валов, поскольку любой другой музыкальный интервал может быть образован комбинацией этих двух неравных месяцев. Например, большой месяц соответствует пифагорейской апотоме (2187/2048) и практически равен натуральному полутону – 16/15, а малый месяц равен пифагорейской леймме 256/243, или натуральному малому полутону – 20/19. Сумма большого и малого месяцев, как уже отмечалось, с абсолютной точностью равна целому тону – 9/8, а два малых месяца в сумме – образуют интервал (1,1099), практически равный натуральному малому тону – 10/9.

Но три натуральных интервала: тон, малый тон и полутон – это базовые интервалы древнегреческих тетрахордов стиля диатон. Например, нисходящая последовательность ступеней 8–6–4–3  (E–D–C–B)  образует  греческий  дорийский  тетрахорд с интервалами 10/9–9/8–16/15 (сверху – вниз). Другая нисходящая последовательность ступеней 4–3–1–11 (C–B–A–G), образует греческий лидийский тетрахорд с интервалами 16/15–9/8–10/9.

 Примечательно, что на ступенях 12 люй можно реализовать почти все тетрахорды диато­на, а также многие классические лады древнегреческой музыки. При этом, в отличие от темпе­рированного строя, квинтовый строй не искажает истинные диатонические пропорции, посколь­ку тон (9/8) и малый тон (10/9) не усредняются до темперированного тона. В качестве конкрет­ного примера в следующей таблице приведены номера ступеней двух древнегреческих ладов.

Лидийский лад:

Дорийский лад:

Не менее важно, что в результате объединения китайских месяцев рождаются терцовые пропорции, акустически не отличимые от натуральных. Так, большой и три малых месяца в сумме образуют интервал с размером 1,249, практически равный размеру натуральной большой терции – 1,25 (интервалы 4–8; 6–10; 9–1; 11–3). А малый и два больших месяца в сумме обра­зуют интервал с размером 1,201, практически равный размеру натуральной малой терции – 1,20 (интервалы 1–4; 3–6; 8–11). В следующей таблице дано сравнение музыкальных пропорций китайского строя со значениями натуральных (целочисленных) пропорций.

Отклонение размеров «китайских» секунд и терций от акустически чистых натуральных пропорций не превышает 2 цента, что меньше погрешности самой лучшей настройки музыкального инструмента. При этом степень приближения к точным значениям натуральных пропорций главных музыкальных интервалов в китайском строе значительно более высокая, чем в европейском темперированном строе, также состоящим из 12 ступеней.

В приведенной выше таблице дано сравнение музыкальных пропорций темперированного строя со значениями натуральных пропорций. Как видим, “европейский” темперированный строй по акустической чистоте интервалов заметно проигрывает системе 12 люй, что не удивительно, поскольку он является её упрощенной версией. В темперированной модели музыкального строя все 12 месяцев абсолютно одинаковы и равны темперированному полутону – 30 градусов на круговой октавной диаграмме. Такое упрощение модели звукового строя буквально напрашивается при взгляде на круговую диаграмму 12 люй. Поэтому вполне естественно, что впервые идея равномерной 12 шаговой темперации появилась именно в Китае. Советская Музыкальная энциклопедия (1973 – 1981г.) признает первым автором темпе­рации музыкального теоретика древнего Китая Хэ Чэн–Тяня, жившего в 370–447 г. н. э. Однако в самом древнем Китае 12–ти ступенный темперированный строй не получил распро­странения, что объясняется, по–видимому, непоколебимым авторитетом древнего музыкального канона.

Поскольку в структуре системы 12 люй образуются интервалы очень близкие к чистым терциям, то на их базе могут быть сформированы натуральные мажорные и минорные трезвучия. Но самое удивительное, что на 12 ступенях китайского строя, практически идеально выстраиваются две главные европейские гаммы – мажорная и минорная. В качестве примера приведена гамма C мажор, и – E минор.

 Цифры во второй строке таблиц означают номера ступеней
на круговой диаграмме 12 люй, построенной от ступени A.

Как следует из приведенного выше анализа, квинтовый музыкальный строй лишен тех недостатков, которые ему приписывает европейское музыкознание в отношении неблагозвучных терций и секст. Истинные пифагорейские и китайские терции столь же акустически совершенны, сколь совершенны квинты в равномерной темперации.