Продолжим наш цикл статей по задаче внешней баллистики исследованием лобового сопротивления воздуха[11,12,13,14]. Предложенная задача является очень непростой , но важной с практической точки зрения, поскольку точный расчёт траекторий снарядов без учёта сопротивления воздуха невозможен. Работа очень актуальна, особенно в военное время
для артиллеристов, миномётчиков, расчётов САУ и ПВО.
В этой статье мы разберём несколько вариантов зависимости силы лобового сопротивления воздуха от скорости летящего тела, а также поймём, какой вариант является наиболее практически применимым при расчётах траекторий спутников, артиллерийских снарядов, баллистических ракет.
Первый случай: При небольших скоростях (0-40 м/с) и тяжёлых снарядах сопротивлением воздуха можно пренебречь: Fc=0. Такой вариант, конечно, сильно облегчает все расчёты, но при больших скоростях расхождение получается чудовищным: в 4-5 раза больше, чем в реальности. Поэтому этот вариант отпадает и применим только в школьных задачах по механике, а все расчёты для него были сделаны ещё до нашей эры.
Второй случай: Закон сопротивления Стокса. В 1851 году английский математик Джордж Стокс получил для закона сопротивления выражение
Где μ - динамическая вязкость, r- радиус объекта, v- скорость.
То есть для небольших тел каплевидной формы сопротивление воздуха можно считать прямо пропорциональным скорости. В этом случае уравнения движения хорошо интегрируются аналитически.[9]
Третий случай: В 17 веке Исааком Ньютоном была предложена формула для сопротивления воздуха:
Где c- некоторый постоянный коэффициент формы, ρ - плотность воздуха, S- эффективная площадь снаряда.
То есть сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. Этот случай применим для тел дозвуковой скорости(0-250 м/с), а уравнения движения были проинтегрированы Леонардом Эйлером в 18 веке.[8]
Четвёртый случай: В общем случае коэффициент лобового сопротивления сам зависит от скорости c(v), для определения этой зависимости для конкретного снаряда производят стрельбу под нулевым углом возвышения, измеряют скорости v1 и v2 на расстоянии L друг от друга и находят vср=0,5(v1+v2). Затем определяют c(vср) по формуле:
Проводя стрельбы при различных скоростях, получают зависимость c(v), затем аппроксимируют её различными функциями, чтобы было как можно точнее.[7]
Пятый случай: В конце 19 века Маевским и Забудским на основании опытных данных был предложен следующий закон сопротивления:
В таком случае уравнения движения можно интегрировать аналитически. Так как такую зависимость невозможно сделать на всём диапазоне скоростей, Маевский и Забудский разбили его на несколько участков:
|
Диапазон скоростей v, м/с |
0-240 |
240-295 |
295-375 |
375-419 |
419-550 |
550-800 |
800-1000 |
>1000 |
|
n |
2 |
3 |
5 |
3 |
2 |
1,7 |
1,55 |
2 |
Таблица 1. закон Маевского-Забудского. Участки скоростей.
Коэффициент k на каждом участке подбирался так, чтобы Fc(v) не имела разрывов. Недостатком закона Маевского-Забудского является наличие угловых точек на графике, а также этот закон сопротивления относится к снарядам старой формы. По этой причине сейчас от не применяется.[7]
Шестой случай: Отто Сиаччи объединил результаты опытов со снарядами старой формы и вывел
следующую эмпирическую формулу для аппроксимации силы сопротивления воздуха:
Предложенная формула не имеет угловых точек, но она крайне громоздка. При маленьких скоростях закон Сиаччи близок к квадратичному, а при больших- к линейному.[2]
Седьмой случай: в 1930 году Гарнье и Дюпюи был предложен новый закон сопротивления. Он выглядел так:
где a и b некоторые постоянные, зависящие от формы снаряда.
Если v<v звука, то
Если же v>v звука, то
При v=v звука(341 м/с) получается угловая точка на графиках c(v) и Fc(v).
Закон 1930 года Гарнье-Дюпюи действовал до 1943 года.[7]
Восьмой случай: В самый разгар Великой Отечественной войны, в 1943 году был предложен новый закон сопротивления воздуха. Функции были выбраны так, чтобы коэффициент формы у снарядов был близок к единице.
Для скоростей v, меньших 256 м/с или больших 1410 м/с
Для промежуточных значений скорости пересчёт идёт с закона Сиаччи со средним коэффициентом 0,896.[7] Полная таблица закона 1943 года есть в источнике [5].
Также были предложены различные аппроксимации закона 1943 года при помощи квадратных и кубических многочленов. [10]
Закон 1943 года используют и по сей день при изготовлении снарядов и пуль.
Девятый случай: В 1958 году был предложен новый закон сопротивления для оперённых снарядов и пуль.
Таким образом, в данной статье представлены различные варианты аппроксимации законов сопротивления воздуха, определены математические модели и теории, выдвигаемые разными учёными на протяжении нескольких столетий.
Зависимость лобового сопротивления очень важна при расчётах движения объектов в воздушной среде.
Литература:
-
Окунев Б. Н. «Решение основной задачи внешней баллистики при квадратичном законе сопротивления воздуха» (1932).
-
Окунев Б. Н. «Основная задача внешней баллистики и аналитические методы её решения» (1934).
-
Дмитриевский А. А., Лысенко Л. Н. «Внешняя баллистика» (2005).
-
Лысенко А. Н. «Внешняя баллистика» (2024).
-
Шапиро Я. М. «Внешняя баллистика» (1946).
-
Беляева С. Д. «Внешняя баллистика с примерами и задачами» (2023).
-
Мандрыка А. П. «Баллистические исследования Леонарда Эйлера» (2017)
-
https://en.wikipedia.org/wiki/Projectile_motion#Time_of_flight_with_air_resistance
-
https://cyberleninka.ru/article/n/approksimatsiya-zakona-soprotivleniya-vozduha-1943-g/viewer
Автор: Maximka200
