О формализме матриц Паули и геометрической алгебры в нерелятивистской квантовой механике

2025-09-23 в 12:36, admin, рубрики: алгебра клиффорда, геометрическая алгебра, квантовая механика, спиноры, физика

Обычно в учебных курсах по нерелятивистской квантовой механике формализм для описания спинового углового момента сразу дается в готовом виде без каких-либо удовлетворительных объяснений. Подходить к лекторам с вопросами об этом, как правило, тоже бесполезно - вразумительного ответа не получить, так как большинство физиков не знают ответа на этот вопрос. Вам будут говорить что угодно, но не точный ответ на вопрос.

В учебниках аналогично - в лучшем случае вам сначала расскажут что-нибудь про свойства спиноров и про матрицы Паули, а потом будет разрыв в переходе к конечным формулам.

Я решил написать статью, которая закроет этот разрыв. Вдохновила меня на это другая статья на Хабре "О спинорах человеческим языком", в которой, к сожалению, этот переход к физике хотя и был начат, но тоже так и не был осуществлен. От этой статьи переход можно сделать быстро (поэтому рекомендуется начать с нее). Начнем отсюда из этой статьи:

Описанное на этом скриншоте разложение можно осуществить с помощью любого единичного вектора. Но все эти векторы и даже скаляры - это комплексные матрицы 2 на 2, так как геометрическая алгебра Cl(3) описывается в базисе матриц Паули. Работать с комплексными матрицами 2 на 2 для описания спиновых направлений неудобно - они избыточны. Проще было бы, если придумать такое представление для векторов спина, чтобы его описывать вектором 2 на 1.

Обратим внимание на сами матрицы Паули:

$sigma_1=begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}qquadsigma_2=begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 end{pmatrix}qquadsigma_3=begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix}$

Если в качестве единичного вектора взять вектор вдоль оси Oz, то проектор будет иметь максимально простой вид:

$frac{1}{2}(I + sigma_3)=begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$

Итак, определим пространство спиноров как идеал $mathcal{S}=text{Cl}_3 , p$ , где — проектор:

$p=frac{1}{2}(1 + e_3)$

Тогда любой спинор из этого идеала, представленный в виде матрицы, получается умножением произвольного элемента алгебры на матрицу-проектор :

$Psi=M P=begin{pmatrix} a & b \ c & d end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}=begin{pmatrix} a & 0 \ c & 0 end{pmatrix}$

Независимо от того, какую матрицу мы брали, у результирующей матрицы второй столбец всегда равен нулю. Это означает, что вся информация о нашем спиноре содержится исключительно в его первом столбце.

Тогда удобно писать спинор не матрицей, а одним столбцом.

Тогда базисные спиноры в их матричном представлении выглядят так:

Первый базисный спинор (матрица):

$Psi_{text{up}}=begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$

Второй базисный спинор (матрица):

$Psi_{text{down}}=begin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Второй базисный спинор в абстрактной алгебре получается действием элемента на проектор :

$psi_{text{down}}=e_1 left( frac{1}{2}(1 + e_3) right)=frac{1}{2}(e_1 + e_1e_3)$

Таким образом,

$Psi_{text{up}}=Pqquad qquadPsi_{text{down}}=sigma_1 P$

Эти две матрицы, таким образом, можно описывать как столбцы 2 на 1, так как второй их столбец всегда равен нулю. Теперь покажем, как любой спин может быть описан через них - выразим собственные векторы соответствующих матриц Паули.

Ось Z (ось квантования по умолчанию)

Это базис, на котором всё строится. Состояния "вверх" и "вниз" являются собственными состояниями оператора (матрицы ).

1. Спин Вверх (вдоль оси Z) |↑_z⟩

Стандартная КМ:
Геометрическая Алгебра:
$ψ_{up}=p=(1/2)(1 + e₃)$
Это наш "первый" базисный спинор, сам проектор.
Если измерить спин вдоль оси , мы с вероятностью 100% получим значение .

2. Спин Вниз (вдоль оси Z) |↓_z⟩

Стандартная КМ:
Геометрическая Алгебра:
$ψ_{down}=e₁p=(1/2)(e₁ + e₁e₃)$
Это наш "второй" базисный спинор, полученный действием e₁ на проектор.
Если измерить спин вдоль оси , мы с вероятностью 100% получим значение .

Ось X

Состояния "вправо" и "влево" являются собственными состояниями оператора (матрицы σ₁). Они представляют собой равные суперпозиции состояний "вверх" и "вниз".

3. Спин Вправо (вдоль оси X) |→⟩ или |↑_x⟩

Стандартная КМ:

Это
Геометрическая Алгебра:
$ψ_{right}=(1/√2)(ψ_{up} + ψ_{down})=(1/√2)(p + e₁p)=(1/√2)(1 + e₁)p$
Если измерить спин вдоль оси , мы с вероятностью 100% получим . Если же измерить его вдоль оси , то с вероятностью 50% получим "вверх" и с вероятностью 50% "вниз".

4. Спин Влево (вдоль оси X) |←⟩ или |↓_x⟩

Стандартная КМ:
(1/√2) * [1, -1]
Это
Геометрическая Алгебра:
$ψ_{left}=(1/√2)(ψ_{up} - ψ_{down})=(1/√2)(p - e₁p)=(1/√2)(1 - e₁)p$
Если измерить спин вдоль оси , мы с вероятностью 100% получим .

Ось Y

Состояния "вправо" и "влево" вдоль оси являются собственными состояниями оператора (матрицы ). Они также являются суперпозициями состояний "вверх" и "вниз", но с комплексной фазой, что критически важно.

5. Спин Вправо (вдоль оси Y) |↗⟩ или |↑_y⟩

Стандартная КМ:

Это
Геометрическая Алгебра:
$ψ_{y_right}=(1/√2)(ψ_{up} + iψ_{down})=(1/√2)(p + i e₁p)=(1/√2)(1 + i e₁)p$
Здесь i — это обычная комплексная единица.
Если измерить спин вдоль оси , мы с вероятностью 100% получим .

6. Спин Влево (вдоль оси Y) |↙⟩ или |↓_y⟩

Стандартная КМ:
(1/√2) * [1, -i]
Это
Геометрическая Алгебра:
$ψ_{y_left}=(1/√2)(ψ_{up} - iψ_{down})=(1/√2)(p - i e₁p)=(1/√2)(1 - i e₁)p$
Если измерить спин вдоль оси мы с вероятностью 100% получим

Спиновые направления и их представление векторами

Примеры решения задач.

Задачи на движение частицы со спином в магнитном поле решаются на основе уравнения Паули.

$i hbar frac{partial chi}{partial t}=-frac{e hbar}{2 m c}(sigma vec{B}) chi$

Здесь - это сумма , состоящая из произведений сигма-матриц Паули на проекции (числа) вектора магнитного поля на координатные оси.

- это спинор, описываемый с помощью вектора-столбца.

Задача 1.

Частица со спином 1/2, начальное состояние которой "спин направлен вправо" (вдоль оси X), помещается в постоянное однородное магнитное поле, направленное вдоль оси Z. Описать движение (прецессию) вектора спинового момента во времени.

Решение.

Стандартное уравнение Шредингера выглядит так:

Давайте переведем его на язык ГА.

|ψ⟩ становится нашим спинором ψ.
H становится нашим мультивектором H.
Умножение H|ψ⟩ становится геометрическим произведением Hψ.
Комплексная единица в алгебре естественным образом представляется псевдоскаляром . Он обладает нужным свойством

Магнитное поле:
Начальное состояние ψ(0): "Спин вправо". Это собственное состояние оператора с собственным значением . В стандартной КМ это вектор
Наша цель: Найти ψ(t) и вычислить ожидаемые значения в зависимости от времени.

Мы знаем, что в нашем формализме:

|↑⟩ (спин вверх) соответствует , где
|↓⟩ (спин вниз) соответствует $ψ_{down}=e₁p$

Следовательно, наше начальное состояние:

Подставляем все в уравнение Шрёдингера:

Поскольку I⁻¹ = -I, получаем:

Теперь подставим наш гамильтониан :

Давайте вычислим:

Произведение псевдоскаляра на вектор дает бивектор , который представляет плоскость , ортогональную вектору .

Наше уравнение движения принимает окончательный, невероятно изящный вид:

Мы получили дифференциальное уравнение

, где — это бивектор, умноженный на некоторую частоту.

Решением такого уравнения является экспонента:

Подставим Ω:

Теперь вспомним определение Ротора — оператора вращения в ГА:
,

где — бивектор плоскости вращения, а — угол.

Сравнивая это с нашим решением, мы видим, что получается из действием ротора:

Это ротор, который описывает вращение:

В плоскости: (плоскость XY).
На угол:

Скорость этого вращения (угловая частота) равна

Это и есть знаменитая частота Ларморовской прецессии ω_L.

В формализме Геометрической Алгебры описание прецессии спина становится геометрически прозрачным:

Уравнение Шрёдингера говорит, что изменение спинорного состояния во времени определяется действием оператора
Этот оператор оказывается бивектором, который представляет плоскость вращения, перпендикулярную магнитному полю.
Решение уравнения — это где — это Ротор.
Это уравнение дословно читается так: "Спинорное состояние в момент времени t получается путем поворота начального состояния ".

Таким образом, прецессия — это не какой-то сложный побочный эффект матричной алгебры, а прямое следствие того, что гамильтониан взаимодействия спина с магнитным полем в своей основе является генератором вращений (бивектором). Формализм ГА делает эту фундаментальную геометрическую природу явления очевидной. Итак:

Используя аналог формулы Эйлера для роторов, получаем:

Теперь применяем ротор к начальному состоянию:

где для краткости

Раскроем скобки во второй части, помня правила и :

Подставляем обратно:

Это точный вид спинора в любой момент времени t. Хотя он выглядит громоздко, он содержит полную информацию о системе.

Чтобы понять, что происходит физически, нам нужно перейти к матричному представлению и вычислить ожидаемые значения $<S>=⟨ψ|S|ψ⟩=ψ† S_{matrix} ψ.$

Начальное состояние в виде вектора-столбца:
Ротор в виде матрицы:
Состояние ψ(t) в виде вектора-столбца:

Это тот же результат, что и в стандартной КМ.
Вычисление :
Используем

Вектор ожидаемого значения спинового момента равен:

Что это описывает?

При . Вектор направлен вдоль оси , как и было задано.
При , вектор вращается в плоскости с постоянной угловой скоростью . Его -компонента остается равной нулю.

Задача 2.

Частица со спином 1/2, начальное состояние которой "спин направлен вверх" (вдоль оси ), помещается в постоянное однородное магнитное поле, направленное вдоль оси . Описать прецессию вектора спинового момента.

Решение.

Магнитное поле:
Начальное состояние : "Спин вверх". Это собственное состояние оператора с собственным значением . В нашей стандартной конструкции это $ψ_{up}$ .
Наша цель: Найти и вычислить ожидаемые значения

Начальное состояние: Состояние "спин вверх" по оси соответствует нашему базовому проектору

Начальное состояние:

Состояние "спин вверх" по оси Z соответствует нашему базовому проектору

$psi(0)=psi_{text{up}}=p=frac{1}{2}(1 + e_3)$

Гамильтониан:

Энергия взаимодействия . Так как поле направлено вдоль , оператор взаимодействия соответствует .

$H=-gamma B_0 S_x quad leftrightarrow quad H=-gamma B_0 left(frac{hbar}{2}right) e_1$

Уравнение движения и определение ротора

Уравнение Шредингера в ГА имеет вид $frac{d psi}{d t}=frac{I}{hbar} H psi$ , где псевдоскаляр .

$frac{d psi}{d t}=frac{e_1 e_2 e_3}{hbar}left(-frac{gamma hbar B_0}{2} e_1right) psi=left(-frac{gamma B_0}{2}right)left(e_1 e_2 e_3right) e_1 psi$

Вычисляем ключевой бивектор, который будет генератором вращения:

Уравнение движения принимает вид:

$frac{d psi}{d t}=left(-frac{gamma B_0}{2} e_2 e_3right) psi$

Решением является временная эволюция, описываемая ротором :

$psi(t)=R(t) psi(0) quad text { где } quad R(t)=exp left[-e_2 e_3 frac{gamma B_0 t}{2}right]$

Обозначив Ларморовскую частоту , получаем ротор, описывающий вращение:

В плоскости: YZ (задается бивектором )
На угол:

$R(t)=cos left(frac{omega_L t}{2}right)-e_2 e_3 sin left(frac{omega_L t}{2}right)$

Чтобы найти наблюдаемые величины, переведем наши объекты в стандартный формализм.

Начальное состояние:

Нам нужно матричное представление для бивектора

$e_2e_3 quad leftrightarrow quad sigma_2 sigma_3=begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 0 & i \ i & 0 end{pmatrix}=isigma_1$

Тогда матрица ротора :

$R(t) leftrightarrow expleft[ -isigma_1 frac{omega_L t}{2} right]=Icosleft(frac{omega_L t}{2}right) - isigma_1 sinleft(frac{omega_L t}{2}right)$

$R(t)=begin{pmatrix} cos(phi) & -isin(phi) \ -isin(phi) & cos(phi) end{pmatrix} quad text{где} quad phi=frac{omega_L t}{2}$

Состояние в момент времени t:

$psi(t)=R(t)psi(0)=begin{pmatrix} cos(phi) & -isin(phi) \ -isin(phi) & cos(phi) end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix}=begin{pmatrix} cos(phi) \ -isin(phi) end{pmatrix}$

Теперь вычисляем $leftlangle S_krightrangle=psi^{dagger}(t)left(frac{hbar}{2} sigma_kright) psi(t)$ , используя $psi^{dagger}(t)=(cos (phi) quad i sin (phi))$ .

$langle S_x rangle=frac{hbar}{2} begin{pmatrix} c & is end{pmatrix} begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix} begin{pmatrix} c \ -is end{pmatrix}=frac{hbar}{2} begin{pmatrix} c & is end{pmatrix} begin{pmatrix} -is \ c end{pmatrix}=frac{hbar}{2}(-ics + isc)=0$

Физический смысл:

Вращение происходит вокруг оси X. Начальная проекция спина на ось X была равна нулю, и она остается такой во все моменты времени, так как $hat{S}_x$ коммутирует с гамильтонианом.

$begin{gathered}leftlangle S_y(t)rightrangle=psi^{dagger}(t) hat{S}_y psi(t)=frac{hbar}{2}left(begin{array}{ll}cos left(frac{omega_L t}{2}right) & left.i sin left(frac{omega_L t}{2}right)right)left(begin{array}{cc}0 & -i \i & 0end{array}right)binom{cos left(frac{omega_L t}{2}right)}{-i sin left(frac{omega_L t}{2}right)}end{array}right. \=frac{hbar}{2}left(begin{array}{ll}cos left(frac{omega_L t}{2}right) & left.i sin left(frac{omega_L t}{2}right)right)binom{-sin left(frac{omega_L t}{2}right)}{i cos left(frac{omega_L t}{2}right)}end{array}right) \=frac{hbar}{2}left(-cos left(frac{omega_L t}{2}right) sin left(frac{omega_L t}{2}right)-sin left(frac{omega_L t}{2}right) cos left(frac{omega_L t}{2}right)right) \=frac{hbar}{2}left(-2 sin left(frac{omega_L t}{2}right) cos left(frac{omega_L t}{2}right)right)=-frac{hbar}{2} sin left(omega_L tright)end{gathered}$

$langle S_z rangle=frac{hbar}{2} begin{pmatrix} c & is end{pmatrix} begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 end{pmatrix} begin{pmatrix} c \ -is end{pmatrix}=frac{hbar}{2}(c^2 - s^2)=frac{hbar}{2}cos(omega_L t)$

Вектор ожидаемого значения спинового момента во времени:

$langlemathbf{S}(t)rangle=left(leftlangle S_xrightrangle,leftlangle S_yrightrangle,leftlangle S_zrightrangleright)=frac{hbar}{2}left(0,-sin left(omega_L tright), cos left(omega_L tright)right)$

Описание движения:

При $t=0,langlemathbf{S}(0)rangle=frac{hbar}{2}(0,0,1)$ . Спин направлен вдоль оси Z , как и было задано.
При , вектор спина вращается. Его X-компонента всегда равна нулю. Компоненты Y и Z осциллируют, описывая окружность в плоскости YZ.

Спин прецессирует вокруг оси магнитного поля (оси X) с Ларморовской частотой . Формализм Геометрической Алгебры предсказал это с самого начала, определив, что генератором вращения является бивектор , соответствующий плоскости YZ.