Стоит открыть исходники любого современного игрового движка – неважно, это C++-рендер, сделанный на коленке, или какая-нибудь гигантская экосистема вроде Unity или Unreal Engine – вы первым делом натыкаетесь на одни и те же знакомые сущности. Все вокруг живет в Vector3: координаты, направления движения, точки столкновений. Каждая частица указывает, куда она смотрит, с помощью Quaternion. А если требуется что-то покруче – переносить и одновременно крутить объект, то Matrix4x4Читать полностью »
Рубрика «геометрическая алгебра»
Почему мы до сих пор неправильно пишем физические движки и 3D-графику
2026-06-17 в 14:05, admin, рубрики: Gamedev, python, timeweb_статьи, внешнее произведение, геометрическая алгебра, игровые движки, кватернионы, конформная геометрия, мультивекторЗаметки на полях: изоморфизм геометрических алгебр
2026-06-07 в 4:00, admin, рубрики: геометрическая алгебра, изоморфизм, электромагнитное полеПролог
Скитаясь по лесистым равнинам геометрической алгебры, нашёл классный изоморфизм. Возможно, кому-то будет интересно - попытаюсь изложить по-русски и попроще.
Изоморфизм алгебр
В работе Garret Sobczyk “Spinors in Spacetime Algebra and Euclidean 4-Space” явно используется алгебраический изоморфизм между геометрической алгеброй евклидова четырёхмерного пространства Читать полностью »
Альтернативный способ задать дифференциал в геометрической алгебре
2026-03-29 в 12:08, admin, рубрики: векторы, геометрическая алгебра, дифференциал, матрицы паулиПривет!
В геометрической алгебре достаточно абстрактно введен дифференциал, здесь предлагается наглядный численный метод — выразить дифференциал через ориентированный объём и геометрическое произведение.
Это даёт возможность интерполировать значения функции вне сетки и отдельно учитывать параллельную и ортогональную составляющие приращения.
Написана статья с целью собрать мнения специалистов о достоинствах и недостатках такого подхода. В общем буду рад комментариям.
1. Обозначения
-
Δ — конечные приращения на сетке (шаги Δx,Δy,Δz и разности функции fΔxf,ΔyЧитать полностью »
Единая теория всего… в 3D графике? Разбираем алгебру Клиффорда как универсальный язык геометрии
2025-11-04 в 5:01, admin, рубрики: алгебра клиффорда, векторы, вращения, геометрическая алгебра, геометрия, кватернионы, комплексные числа, матрицы паули, отражения, физикаПривет!
Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями.
А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременноЧитать полностью »
Давайте забудем всё про скалярное и векторное. Есть способ гораздо лучше
2025-10-26 в 5:49, admin, рубрики: алгебра клиффорда, вращения, геометрическая алгебра, геометрия, матрицы паули, отражения, отражения Хаусхолдера, физикаКаждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное, съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное, тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D.
Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль».
Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса?
Квантовая механика без магии: пересобираем физику на языке геометрии
2025-10-24 в 20:18, admin, рубрики: геометрическая алгебра, квантовая механика, поле хиггса, Уравнение Дирака, Уравнение Паули, уравнение ШрёдингераВ прошлой статье я вывел Общую теорию относительности через геометрическую алгебру в пространстве Минковского. Получился очень простой и короткий вывод уравнений.
Возникает вопрос, а как вывести квантовую механику?
Классический подход заключается в том, чтобы взять классическую систему и проквантовать. Фактически это означает, что квантовая механика просто постулируется.
Вывод ОТО в геометрической алгебре
2025-10-24 в 10:24, admin, рубрики: бивекторы, геометрическая алгебра, кривизна, общая теория относительности, связность, Тензор Римана, Тензор Риччи, Тождества Бьянки, уравнение ЭйнштейнаВ прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в пространстве Минковского. Получилось гораздо проще все и короче, чем у Ландау, где куда более сложный вывод растянулся на множество параграфов и делался через принцип наименьшего действия.
Но еще большее упрощение получается, если выводить общую теорию относительности.
Новое геометрическое уравнение ОТО сразу включает в себя не только уравнения Эйнштейна, но также еще и сразу второе тождество Бьянки, часто используемое в ОТО. Вот это новое уравнение, которое описывает всю общую теории относительности:
Что скрывается за «плюс» и «умножить»? От школьной арифметики до геометрической алгебры
2025-10-21 в 10:34, admin, рубрики: алгебра клиффорда, геометрическая алгебра, матрицы паули, уравнения максвеллаНедавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье, в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет:
«Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из Читать полностью »
О формализме матриц Паули и геометрической алгебры в нерелятивистской квантовой механике
2025-09-23 в 12:36, admin, рубрики: алгебра клиффорда, геометрическая алгебра, квантовая механика, спиноры, физикаОбычно в учебных курсах по нерелятивистской квантовой механике формализм для описания спинового углового момента сразу дается в готовом виде без каких-либо удовлетворительных объяснений. Подходить к лекторам с вопросами об этом, как правило, тоже бесполезно - вразумительного ответа не получить, так как большинство физиков не знают ответа на этот вопрос. Вам будут говорить что угодно, но не точный ответ на вопрос.
В учебниках аналогично - в лучшем случае вам сначала расскажут что-нибудь про свойства спиноров и про матрицы Паули, а потом будет разрыв в переходе к конечным формулам.
Исчисление геометрии Часть 1. Алгебры Клиффорда
2025-06-05 в 6:08, admin, рубрики: haskell, алгебра, алгебра клиффорда, геометрическая алгебра, геометрияВ цикле статей «Изобретаем числа» мы знакомились с разнообразной арифметической экзотикой: двойными и дуальными числами, числами Гаусса и Эйзенштейна. В перечисленных числовых системах поле вещественных чисел расширяется дополнительными невещественными элементами, которые я позволил себе неформально называть «квадратными корнями» из единицы, минус единицы или нуля, поскольку их квадраты равны ±1 или 0. Можно определить формальную классификациюЧитать полностью »