Рубрика «геометрическая алгебра»

в 12:08, , рубрики: векторы, геометрическая алгебра, дифференциал, матрицы паули

Привет!

В геометрической алгебре достаточно абстрактно введен дифференциал, здесь предлагается наглядный численный метод — выразить дифференциал через ориентированный объём и геометрическое произведение.

Это даёт возможность интерполировать значения функции вне сетки и отдельно учитывать параллельную и ортогональную составляющие приращения.

Написана статья с целью собрать мнения специалистов о достоинствах и недостатках такого подхода. В общем буду рад комментариям.

1. Обозначения

  • Δ — конечные приращения на сетке (шаги Δx,Δy,Δz и разности функции fΔx​f,Δy​Читать полностью »

в 5:01, , рубрики: алгебра клиффорда, векторы, вращения, геометрическая алгебра, геометрия, кватернионы, комплексные числа, матрицы паули, отражения, физика

Привет!

Мы, программисты, инженеры и физики, привыкли к своему зоопарку математических инструментов. Векторы — для направлений и позиций. Матрицы — для трансформаций. Кватернионы — для вращений без головной боли с блокировкой осей. Комплексные числа — для 2D-поворотов и обработки сигналов. Каждый инструмент хорош для своей задачи, но мы постоянно переключаемся между ними, преобразуя данные и жонглируя концепциями.

А что, если я скажу вам, что существует единый математический объект, который может быть всем этим одновременноЧитать полностью »

в 5:49, , рубрики: алгебра клиффорда, вращения, геометрическая алгебра, геометрия, матрицы паули, отражения, отражения Хаусхолдера, физика

Каждый, кто прошел через курс линейной алгебры или физики в универе, помнит этот странный дуализм. Нас учили, что у векторов есть целых ДВА вида произведения. Первое, скалярное, съедает два вектора и выдает число. Геометрически — это что-то про проекции и углы. Второе, векторное, тоже съедает два вектора и… внезапно выплевывает третий вектор, перпендикулярный первым двум. Причем работает этот фокус только в 3D и 7D.

Всегда казалось, что это какой-то математический «костыль».

Почему так сложно? Почему два разных продукта для разных задач? Почему один зависит от косинуса, а другой от синуса?

Читать полностью »

в 20:18, , рубрики: геометрическая алгебра, квантовая механика, поле хиггса, Уравнение Дирака, Уравнение Паули, уравнение Шрёдингера

В прошлой статье я вывел Общую теорию относительности через геометрическую алгебру в пространстве Минковского. Получился очень простой и короткий вывод уравнений.

Возникает вопрос, а как вывести квантовую механику?

Классический подход заключается в том, чтобы взять классическую систему и проквантовать. Фактически это означает, что квантовая механика просто постулируется.

Читать полностью »

в 10:24, , рубрики: бивекторы, геометрическая алгебра, кривизна, общая теория относительности, связность, Тензор Римана, Тензор Риччи, Тождества Бьянки, уравнение Эйнштейна

В прошлой статье я вывел уравнения Максвелла в пространстве Минковского. Получилось гораздо проще все и короче, чем у Ландау, где куда более сложный вывод растянулся на множество параграфов и делался через принцип наименьшего действия.

Но еще большее упрощение получается, если выводить общую теорию относительности.

Новое геометрическое уравнение ОТО сразу включает в себя не только уравнения Эйнштейна, но также еще и сразу второе тождество Бьянки, часто используемое в ОТО. Вот это новое уравнение, которое описывает всю общую теории относительности:

Читать полностью »

в 10:34, , рубрики: алгебра клиффорда, геометрическая алгебра, матрицы паули, уравнения максвелла

Недавно один из читателей оставил развернутый комментарий к моей статье, в котором очень точно описал чувство растерянности при первом знакомстве с геометрической алгеброй. Он пишет:

«Нельзя просто спрятаться за ответом "это формальная сумма", должен быть конкретный оператор "плюс", действующий из Читать полностью »

в 12:36, , рубрики: алгебра клиффорда, геометрическая алгебра, квантовая механика, спиноры, физика

Обычно в учебных курсах по нерелятивистской квантовой механике формализм для описания спинового углового момента сразу дается в готовом виде без каких-либо удовлетворительных объяснений. Подходить к лекторам с вопросами об этом, как правило, тоже бесполезно - вразумительного ответа не получить, так как большинство физиков не знают ответа на этот вопрос. Вам будут говорить что угодно, но не точный ответ на вопрос.

В учебниках аналогично - в лучшем случае вам сначала расскажут что-нибудь про свойства спиноров и про матрицы Паули, а потом будет разрыв в переходе к конечным формулам.

Читать полностью »

в 6:08, , рубрики: haskell, алгебра, алгебра клиффорда, геометрическая алгебра, геометрия

В цикле статей «Изобретаем числа» мы знакомились с разнообразной арифметической экзотикой: двойными и дуальными числами, числами Гаусса и Эйзенштейна. В перечисленных числовых системах поле вещественных чисел расширяется дополнительными невещественными элементами, которые я позволил себе неформально называть «квадратными корнями» из единицы, минус единицы или нуля, поскольку их квадраты равны ±1 или 0. Можно определить формальную классификациюЧитать полностью »

в 5:30, , рубрики: алгебра, алгебры клиффорда, геометрическая алгебра, геометрия, матрицы паули

Это последняя статья на эту тему. Все предыдущие с таким заголовком были тренировочными перед этой, с разным результатом разумеется. И мне и вам тема как бы интересна, но прямо скажем - не будем на этом зацикливаться.

Спойлеры, что вас ждет в финале:

  1. Визуализация действия операторов Паули на векторы в динамике.

  2. Концепция объединения линейной алгебры и ТФКП.

  3. Простое определение геометрического произведения.

  4. Взаимодействие ковекторов и векторов: градиент и оператор Лапласа.

  5. Обобщение формулы Муавра на матрицы 2х2

  6. Читать полностью »

в 6:00, , рубрики: геометрическая алгебра, прикладная математика и информатика

Статья о том, что каждая из матриц Паули — это простой геометрический объект — единичный орт обычной системы координат. Без историй про инфинитезимальные повороты и прочее квантово-механическое и прекрасное.

Так же, как и в прошлых двух статьях структура статьи такая, сначала рецепт, потом все остальное. По просьбам в комментариях прошлых статей шрифт в формулах сделал покрупнее.

Всем искренне желаю приятного чтения интересных текстов и ежедневной простоты мышления, например как в дореволюционном учебнике Читать полностью »

12
Главная   |  Архив новостей  |   Android  |   Google  |   Apple  |   Microsoft  |   Информационная безопасность  |   Веб – разработка
Публикации RSS  |  Комментарии RSS
https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js