Рубрика «геометрия»

Довольно вычурные «Начала» Евклида в TeX-е - 1

«какая-то странная антикварная х██ня, написанная ирландским кулибиным в 1847 ну, хорошо, что и такая бывает, конечно» Миша Вербицкий

В 16-м году мне на глаза попались «Начала» Евклида в интерпретации Оливера Бирна. Фишка этой книги в том, что вместо буквенных обозначений навроде «треугольник ABC» там прямо в текст помещаются миниатюры частей построения, то есть, например, картинка с соответствующим треугольником. Насколько сделать такую книгу, как можно представить, было адовой работой в середине XIX века, настолько же легко, с правильными инструментами, это должно бы быть теперь. И, в общем, решил я в этом убедиться наверняка.

Читать полностью »

Доброго времени суток!

В этой статье я подробно опишу алгоритм, который у меня получился в результате использования идеи «заметающей прямой» для построения триангуляции Делоне на плоскости. В нем есть несколько идей, которые я нигде не встречал, когда читал статьи про триангуляцию.
Возможно, кто-то тоже найдет их необычными. Я постараюсь сделать все в лучших традициях и включить в рассказ следующие вещи: описание используемых структур данных, описание шагов алгоритма, доказательство корректности, временные оценки, а также сравнение с итеративным алгоритмом, использующим kD-дерево.
Читать полностью »

История Шипастика - 1

Шипастики повсюду

Мы зовём его «Шипастиком» [Spikey], и в своей сегодняшней жизни я встречаюсь с ним постоянно:

История Шипастика - 2

Он происходит от трёхмерного объекта, многогранника под названием «ромбический шестидесятигранник».
Читать полностью »

PERDIX: алгоритм автоматического проектирования ДНК-оригами разной геометрии - 1

Кто не любил в детстве собирать конструкторы? Я до сих пор помню эту красную коробочку с кучей металлических деталей, инструментов и морем возможных результатов лишь бы была фантазия, время и желание. LEGO тоже не стоит забывать, хоть тут все было чуть проще и гораздо красочнее. Но вот что сложнее и того и другого так это конструкторы наноструктур на базе ДНК-оригами. До сих пор все «детальки» подобных конструкций моделировались вручную, что занимало уйму времени и сил. Представьте, что все детали LEGO вам нужно создавать самому, прежде чем собрать их в гигантского робота с лазерами, реактивными двигателями и пулеметом на плече. Но что-то детские воспоминания увели нас не в ту степь.

Шутки в сторону. Сегодня мы с вами познакомимся с алгоритмом, позволяющим автоматически создавать ДНК-оригами достаточно разнообразной формы. Ранее изменение формы нитей ДНК до необходимой выполнялось вручную, что сильно ограничивало возможности подобной процедуры. Данный же алгоритм позволяет создавать детали ДНК конструктора автоматически, что позволяет в дальнейшем использовать их для формирования двумерных и трехмерных наноструктур. Плюс этот алгоритм доступен всем желающим. Доклад исследовательской группы поможет нам разобраться что и как работает. Поехали.Читать полностью »

Путём трудных геометрических подсчётов Филип Гиббс обнаружил наименьшее из известных покрытий для любой возможной формы

Математик-любитель обнаружил наименьшее универсальное покрытие - 1
Такое универсальное покрытие, как шестиугольник, можно описать вокруг любой формы

Филип Гиббс – не профессиональный математик. Поэтому когда ему хотелось поразмышлять над какой-либо задачей, он искал такую, с которой может справиться и любитель. Он обнаружил трудную задачу, которая может свести с ума даже лучшие умы. И в работе, опубликованной в этом году, Гиббс значительно продвинулся в решении вопроса столетней давности, зависящего от способности точно измерять площадь вплоть до атомных масштабов.

Первым эту задачу предложил французский математик Анри Леон Лебег, в письме к своему другу Юлиусу Палу, написанному в 1914 году. Лебег спросил: какова форма наименьшей возможной площади, способной полностью покрыть большое количество других форм (имеющих одно общее свойство, о котором ниже)?
Читать полностью »

Предупреждение врача. Остерегайтесь этих головоломок. Побочные эффекты могут включать потерянное послеобеденное время, скомканные волосы и восклицания «А-а-а-х, вот как это делается» настолько громкие, что могут треснуть оконные стёкла.

Несколько месяцев назад я наткнулся в твиттере на математические головоломки Катрионы Ширер. Они сразу меня увлекли: каждая головоломка такая осязаемая, ручной работы, словно просит её решить. И на каждую вы можете легко потратить час времени, а то и больше.

Катриона разрешила мне подвесить вас на эти задачки — и поделилась 20 своими любимыми головоломками. Она даже удовлетворила моё любопытство и восхищение, дав интервью (см. в конце статьи).

Наслаждайтесь. И не говорите, что врач не предупреждал.
Читать полностью »

Теорема Пифагора использовалась строителями Стоунхенджа за 2000 лет до рождения самого Пифагора - 1
Не только Стоунхендж, но и другие мегалитические сооружения создавались древними обитателями Британских островов с пониманием основ геометрии

Теорему, о которой идет речь в заголовке, в школе учили все. Даже самые нерадивые ученики слышали имя Пифагора и понимают суть теоремы. Утверждение, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы действительно не слишком сложное для понимания. Считается, что впервые теорему сформулировал древнегреческий философ и математик, который жил на острове Самос в VI-V веках до нашей эры.

Но вполне может быть, что эту же теорему использовали жители Британских островов задолго до Пифагора. Они жили за 2000 лет до рождения философа и математика, так что рассказать им о геометрии было некому — все вычисления проводились собственными силами. Скорее всего, знания того времени формировались эмпирическим путем. Об этом говорится в книге «Megalith: Studies in Stone».
Читать полностью »

image

Подобно своему создателю Карлу Вейерштрассу, это чудовище возникло из ниоткуда. Потратив четыре года учёбы в университете на кутежи и фехтование, Вейерштрасс выпустился из него с пустыми руками. В конце концов он взялся за преподавание и бо́льшую часть 1850-х был школьным учителем в Браунсберге. Ему была отвратительна жизнь в маленьком прусском городишке, он находил своё существование там одиноким. Единственной отдушиной для него стали математические задачи, над которыми он работал между уроками. Но ему не кем было поговорить о математике, и у него не было технической библиотеки для обучения. Даже результатам его работ не удавалось покинуть пределов Браунберга. Вместо публикации в академических журналах, как это сделал бы университетский исследователь, Вейерштрасс добавлял их к школьным проспектам, пугая потенциальных учеников заумными уравнениями.

В конце концов Вейерштрасс отправил одну из своих статей в уважаемый «Журнал Крелле». Несмотря на то, что предыдущие статьи остались едва замеченными, эта вызвала огромный всплеск интереса. Вейерштрасс обнаружил способ работы с ужасным классом уравнений, известным как «абелевы функции». В статье было приведено краткое изложение его методов, но этого было достаточно, чтобы убедить математиков в наличии у автора уникального таланта. Не прошло и года, как Кёнигсбергский университет дал Вейерштрассу почётную докторскую степень, а вскоре после этого Берлинский университет предложил ему должность профессора. Несмотря на то, что Вейерштрасс проделал интеллектуальный аналог пути «из грязи в князи», многие из его старых привычек сохранились. Он редко публиковал статьи, предпочитая делиться своими работами со студентами. Но он был малопочтителен не только к процессу публикации: не пугали его и «священные коровы» математики.
Читать полностью »

Как измерить Землю при помощи теней

image

Ребёнком, попадая на побережье штата Орегон, я часто думал: «Насколько широк океан и что там, за горизонтом?» Взрослея, я обратил свой взор к ночному небу, и думал о чём-то похожем: «Как далеко находятся звёзды, и есть ли у них другие планеты?» И хотя мало кто из нас совершал кругосветные путешествия, и ни один человек ещё не отправлялся в космос дальше Луны, мы знаем ответы на некоторые из этих вопросов. Необъятность можно измерить. И хотя эти огромные числа в повседневной жизни имеют мало смысла, мы хотя бы знаем, что они нам известны.

Представьте, каково было бы жить в мире, в котором это не так: где ощущение необъятности, уверенность в наличии необъяснимого, было бы общепринятым, а мысль о познаваемости мира была бы в новинку. Философ Анаксагор родился примерно за 500 лет до н.э. в восточном Средиземноморье, там, где теперь находится турецкое побережье. К тому времени философия совсем недавно обратилась к изучению природного мира. Менее, чем за сто лет до этого, Фалес Милетский якобы предсказал солнечное затмение, что закончило войну, и доказал, что наш мир был предсказуемым, а все события не являются простой прихотью богов.
Читать полностью »

Всем привет! Когда-то давным-давно я делал простенькие игрушки на Flash. Например: игрушка — провести курсор мышки через лабиринт, не касаясь стен и уворачиваясь от всяких движущихся объектов. Некоторые из этих объектов двигаются по заданной траектории, некоторые гонятся за курсором, а некоторые стреляют в курсор другими движущимися объектами.

Сейчас я увлёкся программированием под андроид и сделал примерно такую же игрушку. И столкнулся с теми же геометрическими задачками с которыми встречался тогда.

Геометрия в компьютерных играх - 1
Читать полностью »