Рубрика «доказательство»

Что такое свидетельство? - 1
Эта статья из цикла, возможно Вы что то пропустили.

Эта статья является частью цикла «Занимательная картография (Краткое введение в рациональность)»

Почему нам кажется, что реальность работает каким-то определённым образом? Откуда берутся убеждения о том, как устроены явления окружающие нас? Должны ли мы одинаково доверять всем таким убеждениям?

Откуда берётся Карта?

Читать полностью »

В этом переводе презентации британского математика Кевина Баззарда мы увидим, что следующий комикс xkcd безнадежно устарел.

image

Каково будущее математики?

  • В 1990-х компьютеры стали играть в шахматы лучше людей.
  • В 2018 компьютеры стали играть в го лучше людей.
  • В 2019 исследователь искусственного интеллекта Christian Szegedy сказал мне, что через 10 лет компьютеры будут доказывать теоремы лучше, чем люди.

Конечно, он может быть не прав. А может быть и прав.
Читать полностью »

Два математика утверждают, что нашли дыру в самом сердце доказательства, вот уже шесть лет сотрясающего математическое сообщество

Титаны от математики схлестнулись над эпичным доказательством abc-гипотезы - 1

В отчёте, опубликованном в сентябре 2018 в интернете, Петер Шольце из Боннского университета и Якоб Стикс из Университета имени Гёте во Франкфурте описали то, что Стикс называет «серьёзным, и невосполнимым разрывом» в огромной серии объёмных работ Синъити Мотидзуки, знаменитого гениального математика из Киотского университета. Опубликованные в интернете в 2012 году работы Мотидзуки якобы доказывают abc-гипотезу, одну из наиболее далеко идущих задач в теории чисел.
Читать полностью »

В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.

Пусть $f(x)$ — бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки $xin R$ найдется натуральное $n$ такое, что $f^{(n)}(x)=0$. Тогда $f(x)$ многочлен.

Доказательство

Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:

1. Пусть $H$ и $F_{1},F_{2},...,F_{n},...$ замкнутые подмножества прямой, причем $H neq varnothing$ и $Hsubset bigcup limits_{n} F_{n}$. Тогда в $H$ найдется точка, которая содержится в одном из $F_{n}$ вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка $xin H$, натуральное $n$ и $varepsilon >0$ такие, что $(x-varepsilon;x+varepsilon)cap H subset F_{n}$.

Действительно (от противного), выберем точку $x_{1} in H$ и окружим ее окрестностью $Delta_{1}=(x-varepsilon_{1};x+varepsilon_{1})$, где $varepsilon_{1}<1$. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит $Delta_{1} cap H not subset F_{1}$. Выберем в $Delta_{1} cap H$ точку $x_{2}notin F_{1}$. Окружим $x_{2}$ интервалом $Delta_{2}=(x_{2}-varepsilon_{2};x_{2}+varepsilon_{2})$ таким, что концы этого интервала — точки $x_{2}-varepsilon_{2}$ и $x_{2}+varepsilon_{2}$ лежат в $Delta_{1}$, а $varepsilon_{2}<frac{1}{2}$. По предположению $Delta_{2}cap Hnotin F_{2}$. Это позволяет выбрать в $Delta_{2} cap H$ некоторую точку $x_{3} notin F_{2},...$ Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов $Delta_{1}supset Delta_{2}supset ...$ Ясно, что

$x_{1}-varepsilon_{1}< x_{2}-varepsilon_{2}<...<x_{n}-varepsilon_{n}...$, (1)
$x_{1}+varepsilon_{1}>x_{2}+varepsilon_{2}>...>x_{n}+varepsilon_{n}...$ (2)

Так как каждый промежуток $Delta_{i}cap Hneq varnothing$, то $lim _{ito infty}(x_{i}-varepsilon_{i})=lim_{itoinfty} (x_{i}+varepsilon_{i})=y, yin H$, а из (1) и (2) следует, что $yin Delta_{i}$ для каждого $i$. Таким образом мы нашли точку $y in H$, но не лежащую ни в одном из множеств
$F_{i} phantom{1} (i=1,2,...)$.

Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция $f(x)$ — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом $E$. Множество $E'$, дополнительное к $E$ обозначим через $F$ и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если $xin F$, то $x$ — неправильная точка).

Читать полностью »

Однажды на зачете мне попалась следующая задача. Придумайте алгоритм, находящий две вершины дерева с максимальным расстоянием друг от друга, и докажите его корректность. В тот момент я в принципе не знала, что у деревьев есть диаметр, радиус и много прочих вещей. Уже после зачета друг просветил меня, рассказав, что это за алгоритм, но без доказательства. Именно вопросом о доказательстве долгое время была забита моя голова. После прочтения нескольких статей, стало понятно, что материал не уляжется, пока самостоятельно себе не объясню все практически на пальцах (может, и читателю придется по вкусу). Перейдем от демагогии к сути.

Диаметр дерева — это максимальное расстояние между двумя вершинами в дереве. Алгоритм поиска состоит в двух запусках BFS. Первый идет от произвольной вершины дерева, во время обхода насчитываются расстояния от текущей вершины до всех других. Затем из них выбирается самая удаленная. Из нее делается второй запуск BFS. Насчитываются новые расстояния. Максимальное среди них и будет диаметром.

Почему этот простой с виду алгоритм работает корректно?
Читать полностью »

Записи с видеорегистратора стали полноценным доказательством в суде - 1Сегодня президент РФ подписал Федеральный закон «О внесении изменения в статью 26.7 Кодекса Российской Федерации об административных правонарушениях в части обязательности отнесения материалов фото- и киносъемки, звуко- и видеозаписи к доказательствам по делу об административном правонарушении».

В соответствии с Федеральным законом материалы фото- и киносъёмки, звуко- и видеозаписи, информационных баз и банков данных и иные носители информации наделяются статусом полноценных, а не возможных доказательств по делу об административном правонарушении.

До сих пор такие материалы принимались в качестве доказательств лишь по усмотрению суда.
Читать полностью »

image

Не тратьте своё время на то, чтобы представиться тем людям, которые вознамерились понять вас неправильно.
— Дрим Хэмптон

Пожалуй, ни одно другое слово не создаёт столько непонимания, как слово «теория». В научных кругах у этого слова есть вполне конкретное значение, отличающиеся вот повседневного использования. Я, как теоретический астрофизик, чувствую, что должен объяснить, что мы имеем в виду, используя его.

Читатель спрашивает:

Я часто встречаю мнение, что если у чего-то нет «100% доказательств», то оно не может существовать. Мой вопрос состоит в том, верно ли утверждение, что «только потому, что у нас нет стопроцентных доказательств чего-либо, это не означает, что это не может быть правдой»?

Конечно, можно ответить кратко:
image
Отсутствие доказательств не является доказательством отсутствия. – Карл Саган

Но это не означает, что всё можно считать правдой, даже при отсутствии доказательств. С научной точки зрения это предложение означает, что если вы хотите подтвердить или опровергнуть теорию, вам нужно вывести из неё конкретные и уникальные предсказания, и проверить их.
Читать полностью »

Бытует мнение, что в Средние века выпускник университета должен был придумать своё доказательство теоремы Пифагора. Вряд ли ради серьёзной цели (хотя, кто знает), а скорее ради развлечения можно предложить другое занятие — доказать математическую теорему, вместив текст доказательства в обычный твит. Этим заняты создатели твиттера @TinyProof.

Вот так выглядит доказательство от противного того, что полином не имеет комплексных решений:

Математические доказательства в 140 символов

«Математический» твиттер создан, судя по всему, менее суток назад, однако уже содержит более десятка ультракоротких доказательств. Определить специализацию математика или команды, ведущей микроблог, сложно — теоремы из разных областей математики.

Взглянуть на ленту можно здесь.
Читать полностью »

Доброго времени суток, Хабровчане!
В последнее время проблемы века стали очень популярными. Ими интересуется каждый себя уважающий математик. Сегодня Вашему вниманию хочу представить одну из проблем века, а именно — Проблема четырех красок и ее решение.

Проблема четырёх красок предложенна в 1852 году Фрэнсисом Гутри

Выяснить, можно ли всякую расположенную на сфере карту раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета.

Стоит отметить две необходимые характеристики этой карты:

  • Граница между любыми двумя областями является непрерывной линией.
  • Каждая область является односвязной.

Данная проблема изначально легка и ее решение приходит на ум почти сразу, но нет доказательства, а именно — алгоритма, по которому можно было бы раскрасить любую карту.

image

Единственным принятым доказательством, является выведенное из идей Альфреда Кэмпе в 1880 году (его изначальное доказательство увидело свет в 1879 году[1]), что любую карту можно раскрасить в 5 цветов.

Почти сорок лет назад, в 1976 году, в Иллинойском университете, Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен предоставили доказательство. В качестве доказателства послужила компьютерная симуляция, которая перебирала все возможные конфигурации карт и выявила минимальное количество цветов равных четырем. Алгоритм симуляции пытались многократно упростить, чтобы проверить доказательство, но к сожелению, безуспешно. Эти события вызвали сомнения у многих математиков, тем более, что описание симуляции занимало аж 741 страницу.
Читать полностью »

Давным-давно в 1637 году Пьер Ферма имел глупость написать на полях «Арифметики» Диофанта следующее: «… невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».
После этого, утверждение, что никакую степень, большую квадрата, нельзя разложить на две степени с тем же показателем называют Великой теоремой Ферма. Простая формулировка обеспечила ей большую популярность среди ученых математиков-профессионалов и любителей.
Несмотря на это она была полностьюЧитать полностью »


https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/3.4.1/jquery.min.js