В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.
Пусть 
— бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки 
найдется натуральное 
такое, что 
. Тогда 
многочлен.
Доказательство
Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:
1. Пусть 
и 
замкнутые подмножества прямой, причем 
и 
. Тогда в 
найдется точка, которая содержится в одном из 
вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка 
, натуральное 
и 
такие, что 
.
Действительно (от противного), выберем точку 
и окружим ее окрестностью 
, где 
. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит 
. Выберем в 
точку 
. Окружим 
интервалом 
таким, что концы этого интервала — точки 
и 
лежат в 
, а 
. По предположению 
. Это позволяет выбрать в 
некоторую точку 
Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов 
Ясно, что
, (1)
(2)
Так как каждый промежуток 
, то 
, а из (1) и (2) следует, что 
для каждого 
. Таким образом мы нашли точку 
, но не лежащую ни в одном из множеств
.
Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция  — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом  . Множество  , дополнительное к  обозначим через  и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если  , то  — неправильная точка). |
Читать полностью »
