Казалось бы, что может быть общего между одной из самых популярных математических теорем, Гомером Симпсоном и Дональдом Кнутом? Как и многие другие интересные идеи и задачи, их объединяет математика. Иногда даже кажется, что почти всё в этом мире сводится к математике и программированию.
Привет habr.
На geektimes habr было уже несколько статей про abc-гипотезу (например в 2013 и в 2018 годах). Сама история про теорему, которую сначала много лет не могут доказать, а потом столько же лет не могут проверить, безусловно заслуживает как минимум, художественного фильма. Но в тени этой чудесной истории, сама теорема рассматривается черезчур поверхностно, хотя она не менее интересна. Уже хотя бы тем, что abc-гипотеза — одна из немногих нерешенных проблем современной науки, постановку задачи которой сможет понять даже пятиклассник. Если же эта гипотеза действительно верна, то из нее легко следует доказательство других важных теорем, например доказательство теоремы Ферма.
Не претендуя на лавры Мотидзуки, я тоже решил попробовать решил проверить с помощью компьютера, насколько выполняются обещанные в гипотезе равенства. Собственно, почему бы нет — современные процессоры ведь не только для того чтобы в игры играть — почему бы не использовать компьютер по своему основному (compute — вычислять) предназначению…
Кому интересно что получилось, прошу под кат.
Читать полностью »
В отчёте, опубликованном в сентябре 2018 в интернете, Петер Шольце из Боннского университета и Якоб Стикс из Университета имени Гёте во Франкфурте описали то, что Стикс называет «серьёзным, и невосполнимым разрывом» в огромной серии объёмных работ Синъити Мотидзуки, знаменитого гениального математика из Киотского университета. Опубликованные в интернете в 2012 году работы Мотидзуки якобы доказывают abc-гипотезу, одну из наиболее далеко идущих задач в теории чисел.
Читать полностью »
В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.
метрического пространства с метрикой 
называют изометрией, если для любых 
справедливо равенство 
. Мы докажем здесь следующее утверждение:
Теорема. Если
отображение компактного метрического пространства в себя, такое что
для любых
, то отображение
— изометрия.
Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.
Через 
будем обозначать количество элементов конечного множества 
.
Для 
и 
множество 
назовем 
-окрестностью точки 
(или открытым шаром с центром в точке 
и радиусом 
).
Конечное множество 
назовём 
-сетью в 
(или просто 
-сетью), если для любой точки 
найдётся точка 
такая, что 
. Множество 
назовём 
-разреженным, если 
для любых 
, таких, что 
.
Для любого конечного множества 
обозначим через 
сумму 
. Величину 
назовём длиной множества 
.
Читать полностью »
В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.
Пусть
— бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки
найдется натуральное
такое, что
. Тогда
многочлен.
Нам понадобится теорема Бэра о системе замкнутых множеств:
1. Пусть
и
замкнутые подмножества прямой, причем
и
. Тогда в
найдется точка, которая содержится в одном из
вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка
, натуральное
и
такие, что
.
Действительно (от противного), выберем точку 
и окружим ее окрестностью 
, где 
. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит 
. Выберем в 
точку 
. Окружим 
интервалом 
таким, что концы этого интервала — точки 
и 
лежат в 
, а 
. По предположению 
. Это позволяет выбрать в 
некоторую точку 
Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов 
Ясно, что
, (1)
(2)
Так как каждый промежуток 
, то 
, а из (1) и (2) следует, что 
для каждого 
. Таким образом мы нашли точку 
, но не лежащую ни в одном из множеств
.
Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция  — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом  . Множество  , дополнительное к  обозначим через  и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если  , то  — неправильная точка). |
|---|
