В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.
Отображение
![Теорема Бошерницана - 1 $f:Erightarrow E$](https://www.pvsm.ru/images/2018/07/15/teorema-boshernicana.svg)
метрического пространства с метрикой
![Теорема Бошерницана - 2 $rho (cdot ,cdot )$](https://www.pvsm.ru/images/2018/07/15/teorema-boshernicana-2.svg)
называют изометрией, если для любых
![Теорема Бошерницана - 3 $x,yin E$](https://www.pvsm.ru/images/2018/07/15/teorema-boshernicana-3.svg)
справедливо равенство
![Теорема Бошерницана - 4 $rho (x,y)=rho (f(x),f(y))$](https://www.pvsm.ru/images/2018/07/15/teorema-boshernicana-4.svg)
. Мы докажем здесь следующее утверждение:
Теорема. Если
отображение компактного метрического пространства в себя, такое что
![Теорема Бошерницана - 6 $rho (x,y)leq rho (f(x),f(y))(1)$](https://www.pvsm.ru/images/2018/07/15/teorema-boshernicana-6.svg)
для любых
, то отображение
— изометрия.
Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.
Через
будем обозначать количество элементов конечного множества
.
Для
и
множество
назовем
-окрестностью точки
(или открытым шаром с центром в точке
и радиусом
).
Конечное множество
назовём
-сетью в
(или просто
-сетью), если для любой точки
найдётся точка
такая, что
. Множество
назовём
-разреженным, если
для любых
, таких, что
.
Для любого конечного множества
обозначим через
сумму
. Величину
назовём длиной множества
.
Читать полностью »