Теорема Бошерницана

В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.

---

Отображение  метрического пространства с метрикой  называют изометрией, если для любых  справедливо равенство . Мы докажем здесь следующее утверждение:

Теорема. Если отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

для любых , то отображение  — изометрия.

Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Через  будем обозначать количество элементов конечного множества .

Для  и  множество  назовем -окрестностью точки  (или открытым шаром с центром в точке и радиусом ).

Конечное множество  назовём -сетью в  (или просто -сетью), если для любой точки  найдётся точка  такая, что . Множество  назовём -разреженным, если для любых , таких, что .

Для любого конечного множества  обозначим через  сумму . Величину  назовём длиной множества .

1. Пусть последовательности ,  элементов множества  сходятся соответственно
к точкам . Тогда  при .

Доказательство. Рассмотрим очевидные неравенства

Так как , при , то для  найдется такое натуральное , что для всех  будет

Из  следует, что  для всех .

2. Для каждого  в  существует конечная -сеть.

Доказательство. Семейство открытых шаров , где  пробегает , является покрытием . Т. к. компактно, выберем конечное семейство шаров , также покрывающих . Ясно, что множество — конечная -сеть.

3. Пространство ограничено. А именно, существует такое число , что  для любых .

Доказательство немедленно следует из 2. Действительно, положим , где , — элементы -сети . Ясно, что .

4. Если  — конечная -сеть в , то для любого -разреженного множества будет , т. е. .

Доказательство. Объединение шаров $inline$underset{i=1}{overset{n}{unicode{222a}}}Q_{a_i,frac{varepsilon }{2}}$inline$ покрывает . Если , то два различных элемента из  окажутся в одном из шаров , что противоречит тому, что  — -разреженное множество.

5. Каждому -разреженному множеству  поставим в соответствие число  — его длину. Мы уже доказали, что функция, которая ставит любому -разреженному множеству  в соответствие число , ограничена. Отметим, что функция, которая каждому -разреженному множеству ставит в соответствие его длину , также ограничена.

6. Пусть , где  берется по всем -разреженным множествам . Тогда справедлива

Лемма 1. Существует -разреженное множество , такое что , является -сетью в , также является -сетью в  и для любых  будет .

7. Лемма 2. Отображение непрерывно на . Более точно: если  для любых , то .

Доказательство. Рассмотрим -сеть из Леммы 1. Если  не принадлежит шару , то не принадлежит . Это значит, что найдётся такое , что и . Аналогично существует такое , что и . Оценим . Ясно, что . А так как , и , , то . Следовательно, .

Итак, мы доказали, что  непрерывно отображает в . Из Леммы 1 следует, что для каждого  существует -сеть в такая, что сохраняет расстояния между элементами этой сети. Значит, для любых точек  можно найти последовательности , такие, что . Но  при . Из непрерывности отображения следует, что , при . Следовательно, при . А т. к. для любого выполняется равенство , то .

Замечание

Это доказательство теоремы Бошерницана основано на беседах с моим студенческим товарищем, ныне американским математиком Леонидом Люксембургом, в один из его приездов в Москву и является моим изложением предложенной им идеи.

---

Слободник Семён Григорьевич,
разработчик контента для приложения «Репетитор: математика» (см. статью на Хабре), кандидат физико-математических наук, учитель математики школы 179 г. Москвы

Автор: Осипов Роман Алексеевич

Источник