Обмен данными и дифференциальные уравнения

в 9:03, , рубрики: дифференциальные уравнения, математика, моделирование, обмен данными

В одном из проектов, над которыми мне довелось работать, был реализован механизм обмена данными между удалёнными компонентами системы, работавший по следующему сценарию: компонент-источник А на своей стороне подготавливает данные, предназначенные для передачи; компонент-получатель Б периодически открывает сеанс связи и забирает все данные, которые накопил А на момент подключения. Данные, поступающие уже в во время сеанса связи, откладываются до следующего подключения.

В какой-то момент я понял, что передача данных в такой схеме описывается с помощью обыкновенного дифференциального уравнения. Описание модели и выводы, которые удалось получить с её помощью, под катом.

Обозначим $x(t)$ — объем данных в некоторых условных единицах, накопленных для обмена на стороне компонента А к моменту времени $t$. Пусть пауза между завершением сеанса обмена и началом следующего равна $a_0>0$ единиц времени, а для передачи одной единицы данных требуется $a_1>0$ единиц времени. Тогда на передачу $x(t)$ единиц данных требуется $a_0 + a_1x(t)$ единиц времени. Скорость передачи данных равна

$frac{x(t)}{a_0+a_1x(t)}.quad (1)$

Если скорость накопления данных на стороне А обозначить $f(t)$, то $x(t)$ является решением дифференциального уравнения:

$frac{dx}{dt}=-frac{x}{a_0+a_1x}+f(t).quad (2)$

Так как неограниченный рост объёма ещё непереданных данных является крайне нежелательной ситуацией, то важной задачей становится получение условий ограниченности решений этого уравнения.

Для простоты будем считать функцию $f(t)$ непрерывной. Пусть

$f(t)=phi_0 + phi(t),$

где

$left|int_0^tphi(s)dsright| leq K_{phi} < +infty$

при всех $tgeq 0$, а $phi_0>0$ — постоянная, играющая роль среднего значения.

Рассмотрим несколько примеров. Пусть $f(t)$ периодическая и её график имеет вид:

image

В этом случае $phi_0=1/3$, $phi(t)=f(t) - phi_0$.
Численно проинтегрировав уравнение (1) для нескольких значений параметров $a_0, a_1$ и начальных значений $x(0)$, получим следующие графики решений:

image

image

Из примеров видно: когда $1/a_1 > phi_0$, решения ограничены и при различных значениях $x(0)$ система стремится к некоторому установившемуся режиму. Чем меньше длительность пауз между сеансами $a_0$, тем эта сходимость быстрее. При $1/a_1 < phi_0$ такой сходимости не наблюдается, а решения с течением времени растут. Уменьшение длительности пауз замедляет скорость роста, но тенденция к неограниченному возрастанию $x(t)$ всё равно сохраняется.

В общем случае можно показать, что если $1/a_1 > phi_0$, то решения уравнения (1) ограничены, а если $1/a_1 < phi_0$ — будут получаться неограниченные решения. То есть ограниченность решений определяется только соотношением скоростей накопления и извлечения данных. Длительность пауз между сеансами обмена $a_0$, единственный параметр, которым можно легко управлять, принципиально не влияет на поведение системы. Хотя, как видно из соотношения (1) и примеров, с её увеличением скорость обмена уменьшается.

В итоге анализ модели позволяет сделать следующие выводы. Если скорость обмена оказывается недостаточной, и на стороне источника постоянно растёт объём данных для отправки, то пытаться исправить ситуацию уменьшением пауз между сеансами не имеет смысла. Помочь здесь может только увеличение производительности системы.

С другой стороны, в случае когда сервис обмена постоянно загружает компьютеры в ущерб другим задачам, верным решением будет рекомендовать увеличить в разумных пределах продолжительность пауз: это повлияет только актуальность данных, без риска переполнения источника неотправленными данными.

Подробные выкладки для условий ограниченности решений и некоторые другие вопросы, касающиеся рассмотренной модели, опубликованы в материалах школы-семинара ”Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ” имени Е.В. Воскресенского. Посмотреть и скачать статью можно по этой ссылке.

Автор: Дмитрий Пашуткин

Источник


* - обязательные к заполнению поля